2.2-随机变量的性质.ppt

* 随机变量的性质 * 随机变量定义 随机变量的独立性 随机变量的矩与相关系数 随机变量分布的峰度和偏度 随机变量的矩母函数和特征函数 极限定理 主要内容 * 随机变量的提出：观察一个随机现象，其随机事件有些是数量性质，有些是非数量性质的。非数量性质的随机事件很难运用成熟的数学方法去处理，即使对数量方式刻画的随机事件由于缺乏规范性和统一性，在进行数学处理时通常也会存在一些问题。 为此，人们提出了一种与事件的原始描述形态相对应、易于数学处理、比较规范、并有许多共性的数学描述方法，这就是所谓的随机事件的随机变量表示。 借助于随机变量对Ω上的事件进行数学化刻画以后，我们既可以利用概率测度P评价F 中的事件，又可以广泛借助于数学方法对F 中的事件进行更全面、更深入的认识。 注意：随机变量的定义也必须遵循一定的规则。对于概率空间(Ω, F,P)，尽管Ω的所有随机事件皆可以用随机变量来描述，但我们只对评测F中的事件感兴趣，而且也只有F中的随机事件才是可测的，或者说只有对F中事件才能进行概率测度。 随机变量定义的界定 * 定义 称映射?:Ω?R1 是随机变量（或者F可测的），若?A?B (R1)，?-1(A)={w|?(w) ?A}?F，即?-1(A)是F中的事件。 显然，G ＝{?-1(A)| A?B (R1)}是F中的集合簇。我们把由G生成的σ－代数? (G)称为由随机变量?生成的σ－代数，记作σ(?),σ(?)是使?可测的最小σ－代数。 定义 * 多维随机变量 设(Ω, F,P)为概率空间，称?＝(?1(w),?2(w),…,?n(w)):Ω?Rn是多维随机变量，当且仅当?的每个分量都是F可测的。 同样，我们也可以定义多维随机变量?:Ω?Rn 的分布函数：对?x = (x1,…,xn) ? Rn，定义 F(x)= F(x1,…,xn)=P({w|?1(w)?x1 ,…,?n(w)?xn})， 则称F为? 的n维联合分布函数。对m n，在联合分布函数中将其中n-m个变量用+?来代替，就可得到对应于? 的m个分量的边际分布函数。 例如：F(x1, +?,…,+?)=P({w|?1(w)?x1,?2(w)?+?,…,?n(w)? +?})是一维边际分布函数，实质上也是分量?1的分布函数。 * 多维随机变量 若存在一个非负实函数f：Rn ?R1 ，使得对?A?B(Rn)，满足 P?(A) =P({w?Ω|?(w)?A }) = f(x)dx 则称f为n维随机变量?的密度函数，此时n维随机变量的联合分布函数表示为 我们经常使用的概率分布有二项分布、Poission分布、正态分布、对数正态分布、高斯分布、χ2-分布、t-分布、F分布等。 * 随机变量的独立性 定义 设?1, ?2,…,?n为定义在(Ω, F,P)上的随机变量，若对?Ai?B(R1)，i=1,2, …,n，有 P({w|?1(w) ?A1 , ?2(w) ?A2,…, ?n(w) ?An})= P({w|?i (w) ?Ai }), 则称?1, ?2,…,?n是相互独立的。 * 随机变量的独立性 另外，还有等价定义为：称?1, ?2,…,?n相互独立，若对任意实数x1, x2,…,xn，有 P(?1 ?x1, ?2 ?x2,…,?n ? xn)= P(?1 ? x1) P(?2? x2)…P(?n ? xn) 上式等价于 F(x1, x2,…,xn)= F1(x1) F2(x2)…Fn(xn), 其中，F是随机向量(?1, ?2,…,?n)的联合分布函数，F1 ,…,Fn分别为随机变量?1, ?2,…,?n的一维边际分布函数。 * 随机变量的矩与相关系数 定义 设?为概率空间(Ω, F,P)上的随机变量，若积分 |?k|dP +?，则称 ?kdP为?的k阶矩，记作E?k； 同理，可定义k阶中心矩E((?–E?)k)； 称一阶矩E?为?的数学期望，记为E?； 称二阶中心矩E((?–E?)2)为?的方差，记作σ2或V?； 称σ为?的标准差。 * 多维随机变量的数学期望和方差: 对维随机向量（?1, ?2,?, ?n），若每个随机变量?i (i=1,2,…n)都有有限数学期望，则称 Cov(?i, ?j)=E[(?i－E?i)(?j－E?j)] = E?i?j－E?iE?j , ( i?j ) 为随机变量?i与?j的协方差，或称为二阶混合中心矩； * 若?i，?j的方差V?i 和V?j非零有限，则定义?i与?j的相关系数为 容易推理得0 ? |?(?i,?j)| ? 1。 * 方差-协方差矩阵: 我们