2.2圆内接四边形的性质与判定定理.ppt

* [普通高中课程数学选修4-1] 第二讲 直线与圆的位置关系 圆心角的度数等于它所对的弧的度数。 同弧或等弧所对的圆周角相等; 同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等. 半 圆(或直径)所对的圆周角是直角; 90o的圆周角所对的弦是直径. 圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的 圆心角的一半。 圆周角定理 圆心角定理 推论1 推论2 【温故知新】 二.圆内接四边形的性质与判定定理 圆内接多边形-----所有顶点都在一个圆上的多边形. 这个圆称多边形的外接圆. 思考: 任意三角形都有外接圆.那么 任意正方形有外接圆吗?为什么? 任意矩形有外接圆吗? 等腰梯形呢? 一般地, 任意四边形都有外接圆吗? A B C D O A B C D A D B C D A B C 如果一个四边形内接于圆,那么它有何特征? D A B C 如图（1）连接OA,OC.则∠B= . ∠D= 性质定理1 圆内接多边形的对角互补 将线段AB延长到点E,得到图（2） （1） D A B C E （2） 性质定理2 圆内接多边形的外角等于它的内角的对角。 性质定理1 圆内接四边形的对角互补 性质定理2 圆内接边形的外角等于它的内角的对角。 如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆. 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆. 性质定理的逆命题成立吗？ 假设：四边形ABCD中，∠B+∠D=180° 求证：A,B,C,D在同一圆周上（简称四点共圆）. C A B D E O A B C D E O 证明：(1)如果点D在⊙O外部。则 （1） （2） ∠AEC+∠B=180°因∠B+∠D=180° 得∠ D=∠AEC与“三角形外角大于任意 不相邻的内角”矛盾。故点D不可能在圆外。 (2)如果点D在⊙O内部。则∠B+∠E=180° ∵∠B+∠ADC=180°∴∠E=∠ADC 同样矛盾。∴点D不可能在⊙O内。 综上所述，点D只能在圆周上，四点共圆。 圆内接四边形判定定理 如果一个四边形的对角互补,那么它的四个顶点共圆. 当问题的结论存在多种情形时,通过对每一种情形分别论证,最后获证结论的方法---------穷举法 推论 如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么它的四个顶点共圆. D A B C E 例1 如图， 都经过A,B两点。经过点A的直线CD与 交于点C,与 交与点经过点B的直线EF与 交于点E,与 交与点F. A C D E B F 证明：连接AB ∴∠BAD=∠E. ∴∠BAD+∠F=180° ∴∠E+∠F=180° ∴CE//DF . 求证：CE//DF. ∵四边形ABEC是 的内接四边形。 ∵四边形ADFB是 的内接四边形。 例2 如图，CF是△ABC的AB边上的高，FP⊥BC, FQ⊥AC. 求证：A,B,P,Q四点共圆 A F B P Q C 证明：连接PQ。 在四边形QFPC中， ∵FP⊥BC FQ⊥AC. ∴∠FQA=∠FPC=90o. ∴Q,F,P,C四点共圆。 ∴∠QFC=∠QPC. 又∵CF⊥AB ∴∠QFC与∠QFA互余. 而∠A与∠QFA也互余. ∴∠A=∠QFC. ∴∠A=∠QPC. ∴A,B,P,Q四点共圆 习题2.2 1.AD,BE是△ABC的两条高， 求证：∠CED=∠ABC. 2.求证：对角线互相垂直的四边形中，各边中点在同一个圆周上。 C A B E D o 3.如图，已知四边形ABCD内接于圆，延长AB和DC相交于E,EG平分∠E,且与BC,AD分别相交于F,G. 求证： ∠CFG=∠DGF. A B E F G D C 三. 圆的切线的性质及判定定理 圆与直线的位置关系: 相交-----有两个公共点 相切-----只有一个公共点 相离-----没有公共点 切线的性质定理: O 切线的性质定理逆命题是否成立? M 反证法 推论1: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 推论2: 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. 这与线圆相切矛盾. 思考: 圆的切线垂直于经过切点的半径 假设不垂直, 作OM⊥ 因“垂线段最短”, 故OAOM, 即圆心到直线距离小于半径. A 切线的判定定理: 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. A O B .直线与圆只有一个公共点,是切线. 在直线上任取异