(第32课)函数的最大(小)值与导数(29号).pptVIP

求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域 （2）求函数的导数f’(x) （3）求方程f’(x)=0的根 （4）用方程f’(x)=0的根，顺次将函数的定义域分成若干个开区间，并列成表格 （5）由f’(x)在方程f’(x)=0的根左右的符号，来判断f(x)在这个根处取极值的情况 * 3.3.3函数的最大（小）值与导数 高二数学 选修1-1 第三章 导数及其应用 a b y=f(x) x o y y=f(x) x o y a b f (x)0 f (x)0 复习:一、函数单调性与导数关系 如果在某个区间内恒有 ,则 为常数. 设函数y=f(x) 在 某个区间 内可导， f(x)为增函数 f(x)为减函数 二、函数的极值定义 设函数f(x)在点x0附近有定义， 如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极大值， 记作y极大值= f(x0)； 如果对X0附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则f(x0) 是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值= f(x0)； ◆函数的极大值与极小值统称 为极值. 使函数取得极值的点x0称为极值点 x o y a x1 b y=f(x) x2 x3 x4 x5 x6 观察下列图形,你能找出函数的极值吗？ 观察图象，我们发现， 是函数y=f(x)的极小值， 是函数y=f(x)的 极大值。 在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题 函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？ 新 课 引 入 极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。 知识回顾 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： 1．最大值: （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≤M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最大值 2．最小值: 一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足： （1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M; （2）存在x0∈I，使得f(x0) = M 那么，称M是函数y=f(x)的最小值 观察下列图形,你能找出函数的最值吗？ x o y a x1 b y=f(x) x2 x3 x4 x5 x6 x o y a x1 b y=f(x) x2 x3 x4 x5 x6 在开区间内的连续函数不一定有最大值与最小值. 在闭区间上的连续函数必有最大值与最小值 因此：该函数没有最值。 f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3) x o y a x1 b y=f(x) x2 x3 x4 x5 x6 如何求出函数在[a,b]上的最值？ 一般的如果在区间，[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值。 观察右边一个定义在区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象： 发现图中____________是极小值，_________是极大值，在区间上的函数的最大值是______，最小值是_______。 f(x1)、f(x3) f(x2) f(b) f(x3) 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才能判断出f(x3)是最小值，而f(b)是最大值呢？ x X2 o a X3 b x1 y y=f(x) (2) 将y=f(x)的各极值与f(a)、f(b)(端点处) 比较,其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值. 求f(x)在闭区间[a,b]上的最值的步骤： (1) 求f(x)在区间(a,b)内极值(极大值或极小值)； 新授课 注意: 1.在定义域内, 最值唯一;极值不唯一 2.最大值一定比最小值大. 求函数的最值时,应注意以下几点: (1)函数的极值是在局部范围内讨论问题,是一个局部概念,而函数的最值是对整个定义域而言,是在整体范围内讨论问题,是一个整体性的概念. (2)闭区间[a,b]上的连续函数一定有最值.开区间(a,b)内的可导函数不一定有最值,但若有唯一的极值,则此极值必是函数的最值. (3)函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个, 而函数的极值则可能不止一个,也可能没有极值,并且极大值(极小值)不