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?以上规律还可总结为:“同增异减”. 减 ↘ 增 ↗ 增 ↗ 减 ↘ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 减 ↘ 增 ↗ 复合函数f [g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x),y=f(u)的单调性密切相关,其规律如下: ⑤复合函数单调性的判断 注意:函数的单调区间只能是其定义域的子区间 忆 一 忆 知 识 要 点 2. 函数的单调性的判定方法: (3)导数法 ①若f(x)在某个区间内可导,当f (x)>0时, f(x)为增函数;当 f (x) < 0时,f(x)为减函数. ②若f(x)在某个区间内可导,当f(x)在该区间上递增时,则f (x)≥ 0;当f(x)在该区间上递减时,则f (x)≤0. 忆 一 忆 知 识 要 点 例1. 已知定义在R上的函数y=f(x)满足, f(0)≠0 , 且当x0时,f(x)1,且对任意的a,b∈R, f(a+b)= f(a) ·f(b). (1)求f(0)的值; (2)判断f(x)的单调性. 一、抽象函数的单调性与最值 解: (1)令 a = b = 0, 则 任取x1, x2∈R,且x1 x2, (2) 令 a =x , b=-x 则 所以 f (x)0 恒成立. 由于当 x 0 时,f (x) 1, 则 f(x2)=f[(x2-x1)+x1] f( x1). 即 f(x2)f(x1). ∴f(x) 是 R 上 的增函数. =f(x2- x1)·f(x1) ∴f(x2- x1)1. 【1】若对一切实数x, y 都有 (1)求f(0)的值; (2)判定f(x)的奇数偶性. 令 x = y = 0, 则 令y = -x , 则 故 f (x)是奇函数. 解:因为对于任何实数 x, y 都有 证明: 任取 x1, x2∈R,且 x1 x2 , 则 f(x2)-f(x1)= f[(x2-x1)+x1]-f(x1) ∵x2-x10, ∴f(x2- x1)1. =f(x2- x1)-1. ∴f(x2)-f(x1)0, 即 f(x2)f(x1). ∴f(x) 是 R 上 的增函数. 【2】若函数 f(x) 对任意 a, b∈ R 都有 f(a+b)=f(a)+f(b)-1, 并且当x0 时, 有 f(x)1. 求证: f(x) 是 R 上 的增函数. ∴f(x2- x1)-10. =f(x2- x1)+f(x1) -1- f(x1) 【3】已知函数 f (x) 对于任何实数 x, y 都有 f (x+y)+f(x-y)=2f (x) f (y) 且 f (0)≠0. 求证: f (x) 是偶函数. 令 x = y = 0, 则 令 x = 0 , 则 故 f (x)是偶函数. 解:已知函数 f (x) 对于任何实数 x, y 都有 f (x+y)+f(x-y)=2f (x) f (y), 例2.判断函数 在区间(-1,1)上的单调性. 解:设 则 f(x1)-f(x2) ∵-1<x1<x2<1, ∴1+x1x2>0,x2-x1>0, ∴ f(x1)-f(x2)>0 . 即 f(x1)>f(x2) . 故此函数在(-1,1)上是减函数. 二、函数单调性的判定及证明 例3. 设 为奇函数,且定义域为R. (1)求b的值; (2)判断函数f(x)的单调性; (3)若对于任意t ∈ R, 不等式 恒成立,求实数k的取值范围. 解: (1)由 f ( x ) 是奇函数, 则 f(-x )=-f (x), 整理, 得 主页 一轮复习讲义 函数的单调性与最值 忆 一 忆 知 识 要 点 上升的 下降的 忆 一 忆 知 识 要 点 增函数 减函数 函数单调性的判断及应用 求函数的单调区间 抽象函数的单调性及最值 函数的单调性与不等式 设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1、x2,当x1x2时,都有f(x1)f(x2),那么就说f(x)在区间D上是增函数. 1.函数单调性的定义 设函数y=f(x)的定义域为I,如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1、x2, 当x1x2时, 都有f(x1)f(x2) , 那么就说f(x)在区间D上是增函数. 忆 一 忆 知 识 要 点 ①任取x1, x2∈D,且x1x2; ②作差f(x1)-f(x2); ③变形; ④判号(即判
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