-多元函数微分习题答案2015.ppt

Heut-liucf@163.com * * 多 元函数微分 求 在区域 上的最大值和最小值。 例18 此题是不等式约束问题，求解分两步进行: 【解】 ① 在 内，解方程组 得唯一驻点（0，0）。 提示 先求区域内部的可疑极值点，再求边界上的可疑极 值点，然后比较它们的函数值。 ② 在边界 上，构造拉格郎日函数 解方程组 求出函数值 比较大小可知，最大值为45 最小值为9. 得可疑极值点 和 设f(u,v)具有连续偏导数，且满足 求 所满足的一阶微分方程，并求其通解. 因此，所求的一阶微分方程为 解得 (C为任意常数). 例21 ，利用已知关系 可得到关于y的一阶微分方程. 【分析】先求 【解】 例22 【解】 其中 具有一阶连续偏导,且 ,求 设 设 ，其中 是由 确定，其中 具有连续的一阶偏导数，求 两端对 求导有 两端对 求导有 代入 化简 例23 【解】 在 上各点的法线总垂直于常向量，并指出此曲面的特征. 证明: 设 可微,试证 〖证法一〗 设 为曲面上任意一点, 其法向量为: 所以 例24 的任意性知曲面上各点的法线总垂直于 即 常向量. 〖证法二〗 任取曲面上一点 则直线 L： 在曲面上， 而L的对称式方程为 L： 可见过曲面上任意一点的直线均平行于{a，b，c}， 即曲面是母线平行于{a，b，c}的柱面。 设 可微,试证 上任一点处的切平面都通过定点. 则该处的切平面为: + -[ + ]=0 三个数a,b,c出现在方程中,我们首先猜想 就是所求的点. 代入满足方程,故点 在此切平面上. 例25 〖证法一〗任取曲面上一点 〖证法二〗分析曲面的几何性质要比机械地代公式好 ,任取曲面上一点 则连接 的直线方程L为: 将直线方程代入曲面方程有 这说明L上的点都在曲面上,即曲面是以 为顶点的锥面,而曲面上任意一点的切平面都经过其顶点. 设点 求由方程 所确定的函数 设 的极值。 解 对方程 两边求全微分，得 令 ，得 例26 代入原方程 得： 得驻点 又 所以函数没有极值点。 所以对于 点， 点不是极值点。 对于 点， 点不是极值点。 这是隐函数极值问题，计算方法与显函数相同， 所不同的是计算可疑极值点要利用隐函数求导法。 注意 已知平面上两定点 A(1,3 ),B(4,2), 试在椭圆 圆周上求一点C,使△ABC 面积 解：设C点坐标为(x,y), 则 设拉格朗日函数 解方程组 例27 最大. 得驻点 对应面积 而 比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形面积最大. 求 在 点的两个二阶混合偏导数。 解 当 时， 类似: 例28 当 时， 显然 第六部分 考研试题欣赏 设 ,其中 具有连续二阶偏导数,求 2004年 利用复合函数求偏导的方法直接计算. 提示 设z=z(x,y)是由 确定的函数，求 的极值点和极值. 2004年 因为 所以 提示