11-7多元函数的极值与最优化问题11.4.21.ppt

例4 三、条件极值、拉格朗日乘数法 例8 例9 例10 3. 函数的最值应用问题 思考与练习 例5-2 例6 例6-1 例8-2 解方程组 例8-3 求平面上以 例9-1 例9-2 为边的面积最大的 四边形 ,试列出其目标函数和约束条件 . 提示: 目标函数 : 约束条件 : 答案: 即四边形内接于圆时面积最大 . 设四边形的 一对内角分别为α,β 例8-4 要设计一个容量为 则问题为求 令 解方程组 解 设 x , y , z 分别表示长、宽、高, 下水箱表面积 最小. x , y , z 使在条件 试问水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？ 的长方体开口水箱, 得唯一驻点 由题意可知合理的设计是存在的, 长、宽为高的 2 倍时，所用材料最省. 因此 , 当高为 思考: 1) 当水箱封闭时, 长、宽、高的尺寸如何? 提示: 利用对称性可知, 2) 当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时, 欲使造价 最省, 应如何设拉格朗日函数? 长、宽、高尺寸如何? 提示: 长、宽、高尺寸相等 . 解 则 ①②③④ 2x ?① – 3y ? ②, 得 例8-5 x ?① – 3z ? ③, 得 代入④，得 x = 6, 从而 y =4, z =2 依题意，最大值必存在 解 目标函数 约束条件 注意常用解题技巧 注意常用解题技巧 着点 A(1,1,1) 到点 B(2,0,1)的方向导数具有最大值. 解 目标函数： 条件： x z o y 解方程组： (1) (2) (3) (4) 由(1) ? y – (2) ? x, 得 由(3)，得 代入(4)，得 极值可疑点： 内容小结 1. 如何求函数的无条件极值 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 解方程组 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2.如何求函数的条件极值 (1) 简单问题用代入法转化为无条件极值问题求解 如对二元函数 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法求解 先作拉格朗日函数 例如求二元函数 下的极值, 然后解方程组 第二步 作拉格朗日函数，求驻点并判别 ? 比较驻点及边界点上函数值的大小(闭区域) ? 根据问题的实际意义确定最值(实际问题) 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 在条件 求出驻点 . 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ), 试在椭圆周 上求一点 C, 使 △ABC 面积 S△最大. 解答提示: 设 C 点坐标为 (x , y), 则 作拉格朗日函数 解方程组 得驻点 对应面积 而 比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形 面积最大. 点击图中任意点 动画开始或暂停 解 1o 求驻点 ①② ① – ②： ①② 当 a=0 时，有唯一驻点：(0,0) 当 a ? 0 时， 代入①， 2o 判断 (1) 当a ? 0 时， 驻点 备用题 例4-1 讨论函数 及 是否取得极值. 解 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 在(0,0)点邻域内的取值 , 因此 z(0,0) 不是极值. 因此 为极小值. 正 负 0 在 (0,0)点 并且在 (0,0) 都有 可能为 ① ② (2) 当a =0 时，在唯一驻点(0,0)处， 充分判别法失效！ x y o + 当a =0 时， - 解 根据问题的性质知 设(x,y)为该三角形内 所求点一定在x=0,y=0,x+2y-16=0 三直线所围三角形的内部. 则它到三直线的距离平方和为: 任一点, 目标函数 x+2y-16=0 (x, y) 而驻点唯一, 由问题性质知存在最小值, 解 其次考虑f(x,y)在D的边界上的取值情况. 比较上述各点的函数值可知, 函数的最大值是 函数的最小值是 例6-2 解 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 水箱所用材料的面积为 令 得驻点 某厂要用铁板做一个体积为2 的有盖 长方体水箱,问：当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 因此可断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 高为 时, 水箱所用材料最省. 解 由 例7-1 无条件极值：对自变量除了限制在定义域内外，并无其他条件. 解 例8-1 解 设内接三角形各边所对的圆心角为 x , y , z , 这三个角所对应的三角形的面积分别为 作拉格朗日函数 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者. 则 , 得 故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 * 第十一章 第八节 一、多元函数的无条件极值 二、多元函数的最值 三、多元函数的条件极值、 拉格朗日乘数法 多元函数的极值 与最优化问题 一、 多元函数的无条件极值 1. 极值定义 若函数 极大值和极小值统称为