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概率论Ch3.2-2
二、协方差
二、协方差
定义：设两个随机变量X ,Y的期望、方差存在,
则称 cov(X ,Y)=E(X -EX)(Y-EY)为X 和Y的协方
差(covariance)。
性质：① cov(X ,Y)= cov(Y,X)= E(XY)-(EX)(EY)
② 若X 与Y独立，则cov(X ,Y)=0 反之不真
反之不真
2 2
③ D(aX+bY)=a DX+b DY+2abcov(X ,Y)
特别， D(X ±Y)=DX+DY ±2cov(X ,Y)
④ cov(aX+bY, cX+dY)
=acDX+bdDY+(ad+bc)cov(X ,Y)
1
随机变量和的方差
随机变量和的方差
由方差的性质：
n n n
D ( X ) DX =+2 E (X −EX )(X −EX )
∑ ∑ ∑
i i i i j j
i i i j n
1 1 1≤ ≤
可得
n n n
D ( X ) DX =+2 Cov (X , X )
∑ ∑ ∑
i i i j
1 1 1≤ ≤
i i i j n
n n
D ( X ) DX
∑ ∑
特别，当X ,…,X 两两独立时 i i
1 n i 1 i 1
2
协方差的计算方法
协方差的计算方法
(1) 若(X , Y)为离散型随机向量,
P(X=x , Y=y )=p ，(i,j =1, 2, …)，则
i j ij
cov( X , Y ) ∑∑(xi −EX )(y j −EY )p ij
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