2.1随机变量及其分布课件.ppt

* 第二章 随机变量的分布与数字特征 §2.1 随机变量及其分布 一、随机变量的概念 掷一颗骰子, 任选一个人, 记录某交叉路口 在一批灯泡中任取一个, 发射炮弹, 例 观察其点数. 测量其身高. 在任意一个小时内 通过的车辆数. 测试其使用寿命. 记录弹着点与目标的距离. 有些随机试验， 例如, Ω={正面, 反面} 于是事件 “硬币出现反面”就表示为 虽然其结果 但也可以用数量表示. 令 ω=“反面” ω=“正面” 就表示为 没有直接表现为数量, 抛掷一枚硬币一次, “硬币出现正面” 抛掷一枚硬币, 反正, 事件 “反反反正” 直到首次出现正面为止. 正, 反反正, 反反反正, 反反反反正, 令X为 则 的取值范围为 就表示为 样本空间为 抛掷的次数, 取出的是二等品; 事件“取出合格品” 在26个英文字母中, 事件取到 “B” 任取一件. 一批产品 件, 其中有优质品 件, 二等品 件, 废品 件, 取出的是废品 取出的是优质品; 令 ω=“取出优质品” ω=“取出二等品” ω=“取出废品” 就表示为 或 任取一个. 将26个英文字母编成 号. 用 表示. 即 定义2.1 又如, 某一随机试验的样本空间, 如果 对每一个样本点 这样就定义了一个 定义域为Ω的 称之为随机变量. 有一个实数 与之对应, 例如, 令 ω=“反面” ω=“正面” Ω={正面,反面} 为随机变量. 为随机变量. 实值函数 抛掷一枚硬币, 掷一颗骰子, 令 “掷出1点” “掷出2点” “掷出6点” 设Ω为 随机变量通常用大写英文字母 小写英文字母 又如, 在一天中任选一个时刻, 记录下 当时的气温. 任一时刻的气温 为随机变量. 有时也用小写希腊字母 等表示, 表示随机变量所取的值. 随机变量 也记为 某气象站 用X表示, ξ,η等表示. 随机变量的分类: 随机变量 离散型随机变量 非离散型随机变量 连续型随机变量 非离散非连续型随机变量 例 可以统一表示为 有3个次品, 从中任取2个, 其中的 次品数为 是随机变量. 的取值范围是 10个产品中 二、离散型随机变量的概率分布 定义2.2 离散型随机变量的特点是 如 “取到次品的个数” “掷骰子出现的点数” “某电话交换台 其取值在数轴上 只可能取有限个 如果随机变量 或可数 无穷多个值, 离散型随机变量. 则称 是 它的所有取值 可以逐 个一一列举出来. 是有限个点 或一列离散的点. 任一小时内收到的呼叫次数” 定义2.3 称 它的一切可能 设X 取值为 且 取各个值的概率为 的概率分布, 的分布. 有时也写成 概率分布 为 简称 记 也可以用列表法表示 是离散型随机变量, 证 (1) 概率分布的性质： 1. 非负性 2. 归一性 例 已知 求c 解 例 已知 求p 解 其中 若离散型 的概率分布为 则对于集合 的任一子集 事件 “ 在 中取值” 即“ ” 的概率为 令X表示 只有两种对立结果： “A发生” 对于贝努利试验， 与“A不发生” 一次贝努利试验中， A发生的次数， 设事件A发生的概率为 则事件 发生的概率为 则 即 A不发生 A发生 称X服从0—1分布. 例 从中随机抽取一个 抽到正品 抽到次品 用X表示 即 X服从0—1分布. 抽到的次品的个数 一批产品 抽取一次， 的次品率为 抛掷一枚硬币一次, 出正面 出反面 出正面 X服从0—1分布. 一射手的命中率为 他射击一次, 击中 没击中 他射击一次， 击中的次数. 用X表示 的次数, 用X表示 X服从0—1分布. 抛硬币一次, 即 即 例 一般地, 即 具有离散均匀分布. 编号为 随机取一个字母, 设对应的号码为 则 的概率函数为 若 的概率函数是 则称 将26个英文字母 如掷一颗骰子 五支签中有一支“好签”, 出现的点数 具有离散均匀分布. 五个人依次抽取, 不放回, 表示第 个人抽到 “好签” 设 服从离散均匀分布. 三、分布函数 离散型随机变量的特点是： 其取值范围是有限集 但有些随机变量是非离散的, 列集. 其概率分布可用列表法表示: 它的取值可能是 或可 区间内的一切值. 某一 定义2.4 设 是 称 为随机变量 的分布函数. 任意一个随机变量, 记为 解 设 服从0-1分布 例 求 的分布函数. 证（1） 对于随机变量 其分布函数 具有如下性质: 是 的 即 时, 至多有可数多个间断点, 且在其间断点处, 即对任何实数 有 （2） 即 是右连续的, 单调不减函数. 时, 任一随机变量 都满足以上性质, 反之, 任一满足以上性质的函数, 都可作为某一 随机变量的分布