(3,2,1)-共轭r-正交拉丁方的存在性.pdf

徐允庆等：(3，2，1)一共轭 厂．一正交拉丁方的存在性 表 1 不存在的 ．正交拉丁方 阶数 不存在的r值 4 5，6，7 7，1O，11，13，14 8．9．20，22，23 33．36 如果 (e，o)是一个拟群，我们可以定义如下6个二元运算o(1,2，3)，o(1，3，2)，O(2，1，3)，O(2，3，1)，o(3，1，2) 和 o(32，1)：0Ob=c当且仅当 ， ao(1，2，3)b= C， aQ(13，2)c= b， bO(21，3)a= c， ， ， bo(23，1)C= a， cQ(3l，2)a= b， Co(32，1)b= a． ， ， ， 这6个拟群 (不一定不同)(Q，O(t，J，))，{，J，)={1，2，3)，称为 (Q，o)的共轭．如果将拟群 (Q，O) 对应的拉丁方记为 ，那么，(Q，Of{Ij．))对应的拉丁方称为是 的 (i，J，)．共轭． 如果两个阶拉丁方L= (fj)和 M = (mj)是 r一正交的，并且 M 是 的 (i，J，)一共轭，则称 是 (i，J，)，共轭r．正交的，记为 (i，J，) COLS(v)．通常我们称 (2，1，3) COLS为r一自正交拉丁方， 记为 r—SOLS．在文献 1『2]中，．SOLS(v)的存在性问题已经基本解决．关于 (3，2，1) COLS(v)，也已 经有下述结论． 定理 1．2[13，定理31·]；[14，定理36·]对任意的正整数u，当r∈v+2，u+3，+5，u+7)时，不存在 (3，2，1) COLS(v)和 (1，3，2) COLS(v)． 定理 1．3[151。] 对任意的正整数 V，V≠2，6，存在 (3，2，1)一COLS(v)和 (1，3，2)．COLS(v)． 定理 1．4 对任意的正整数 V，存在 (3，2，1)一V—COLS(v)． 证明 令L=(1ij) ，其中 ：J—i(mod )．直接验证可知，L是一个 (3，2，1)．V．．．COLS(v)，且 它的DOP集为 {(0，0)，(1，1)…．，(一1，V一1))． 口 既然已证明当r∈ v+l，V+2，V+3，V+5，V+7，V一1)时，(3，2，1)Ir-COLS(v)不存在 (见定 理 1．1和 1．2)以及当r∈{，V2)时，(3，2，1)．r．COLS(v)的存在性也已经解决 (见定理 1．3和 1．4)，我 们下面讨论剩下的r∈{+4，+6}uV【+8，u一2]的情形．对于V≤20，除去少许可能的例外值， 我们给出一个几乎完整的 (3，2，1)-，r-COLS(v)的存在性结论．对于 V20，除去两种可能的例外情形： r=V一3和 V=23，r=V。一5，我f]『证明当r∈[V，V2]＼{+14，V+2，V+3，V+5，+7，V一1)时，存 在 (3，2，1)．—COLS(v)． 第2节引入一些定义和辅助设计，如PBD(pairwisebalanceddesign)，GDD(groupdivisibledesign) 和 TD (transversaldesign)等，以及一些基本结论，包括 2≤V≤8时 (3，2，1) COLS(v)的存在性； 当 3≤V≤7时 (3，2，1)一r-COILS(v)的存在性；以及 (3，2，1)一r．COLS(I。2)和 (3，2，1)一r—C