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(3,2,1)-共轭r-正交拉丁方的存在性
徐允庆等:(3,2,1)一共轭 厂.一正交拉丁方的存在性
表 1 不存在的 .正交拉丁方
阶数 不存在的r值
4
5,6,7
7,1O,11,13,14
8.9.20,22,23
33.36
如果 (e,o)是一个拟群,我们可以定义如下6个二元运算o(1,2,3),o(1,3,2),O(2,1,3),O(2,3,1),o(3,1,2)
和 o(32,1):0Ob=c当且仅当
,
ao(1,2,3)b= C, aQ(13,2)c= b, bO(21,3)a= c,
, ,
bo(23,1)C= a, cQ(3l,2)a= b, Co(32,1)b= a.
, , ,
这6个拟群 (不一定不同)(Q,O(t,J,)),{,J,)={1,2,3),称为 (Q,o)的共轭.如果将拟群 (Q,O)
对应的拉丁方记为 ,那么,(Q,Of{Ij.))对应的拉丁方称为是 的 (i,J,).共轭.
如果两个阶拉丁方L= (fj)和 M = (mj)是 r一正交的,并且 M 是 的 (i,J,)一共轭,则称
是 (i,J,),共轭r.正交的,记为 (i,J,) COLS(v).通常我们称 (2,1,3) COLS为r一自正交拉丁方,
记为 r—SOLS.在文献 1『2]中,.SOLS(v)的存在性问题已经基本解决.关于 (3,2,1) COLS(v),也已
经有下述结论.
定理 1.2[13,定理31·];[14,定理36·]对任意的正整数u,当r∈v+2,u+3,+5,u+7)时,不存在
(3,2,1) COLS(v)和 (1,3,2) COLS(v).
定理 1.3[151。] 对任意的正整数 V,V≠2,6,存在 (3,2,1)一COLS(v)和 (1,3,2).COLS(v).
定理 1.4 对任意的正整数 V,存在 (3,2,1)一V—COLS(v).
证明 令L=(1ij) ,其中 :J—i(mod ).直接验证可知,L是一个 (3,2,1).V...COLS(v),且
它的DOP集为 {(0,0),(1,1)….,(一1,V一1)). 口
既然已证明当r∈ v+l,V+2,V+3,V+5,V+7,V一1)时,(3,2,1)Ir-COLS(v)不存在 (见定
理 1.1和 1.2)以及当r∈{,V2)时,(3,2,1).r.COLS(v)的存在性也已经解决 (见定理 1.3和 1.4),我
们下面讨论剩下的r∈{+4,+6}uV【+8,u一2]的情形.对于V≤20,除去少许可能的例外值,
我们给出一个几乎完整的 (3,2,1)-,r-COLS(v)的存在性结论.对于 V20,除去两种可能的例外情形:
r=V一3和 V=23,r=V。一5,我f]『证明当r∈[V,V2]\{+14,V+2,V+3,V+5,+7,V一1)时,存
在 (3,2,1).—COLS(v).
第2节引入一些定义和辅助设计,如PBD(pairwisebalanceddesign),GDD(groupdivisibledesign)
和 TD (transversaldesign)等,以及一些基本结论,包括 2≤V≤8时 (3,2,1) COLS(v)的存在性;
当 3≤V≤7时 (3,2,1)一r-COILS(v)的存在性;以及 (3,2,1)一r.COLS(I。2)和 (3,2,1)一r—C
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