3.4向量组的极大线性无关组.ppt

* 第三章 维向量空间 §3.4 向量组的极大线性无关组 n §3.4 向量组的极大线性无关组 二、向量组的秩 一、极大线性无关组的概念 三、如何求向量组的极大无关组及线性组合关系 一、极大线性无关组的概念 上一节讨论了向量组的线性相关与线性无关的概念，其 中线性无关也称为线性独立。 系数及右端项构成行向量，则线性相关与线性无关的概念实 反映了线性方程组中各个方程是否关联或是否独立。 本节将讨论如果一个给定的向量组线性相关，那么， (1) 该向量组中到底有多少个向量是独立的？ (2) 具体哪些向量是独立的？ (3) 其余的向量是如何由这些独立向量组合出来的？ 如果以线性方程组中各方程的 一、极大线性无关组的概念 定义 如果向量组 中的一个部分组 满足: (1) 线性无关； (2) 向量组 中的每一个向量都可由 线性表示， (即在 中再加一个向量就相关.) 则称 为 的(一个)极大线性 无关组。 则 是一个极大线性无关组； 等都是极大线性无关组。 由此可见，一个向量组的极大线性无关组不是惟一的。 需要讨论的问题 (1) 一个向量组中各极大线性无关组的向量个数是否惟一？ (2) 如何求出向量组的一个极大线性无关组？ 如何将其余的向量表示为极大线性无关组的线性组合？ 设有两个向量组 1. 向量组之间的线性表示 定义 若向量组(Ⅱ)中的每个向量都能由向量组(I)线性表示， 则称向量组(Ⅱ)能由向量组(I)线性表示。 此时，对每个向量 使得 存在数 二、向量组的秩 若记 即有 其中 n 为向量的维数。 则所谓的向量组(Ⅱ)能由向量组(I)线性表示意味着 使得 存在矩阵 1. 向量组之间的线性表示 二、向量组的秩 1. 向量组之间的线性表示 二、向量组的秩 例如 设向量组 能由 线性表示： 则有 1. 向量组之间的线性表示 定理 设向量组 可由 线性表示， 二、向量组的秩 则向量组 线性相关。 若 换句话说，若 线性无关，则 证明 (略) * 推论 n + 1 个 n 维向量一定线性相关。 基本向量 线性表示 因为任何 n 维向量都可由 n 维 上述定理的直观解释 （仅以 为例） (1) 设由两个向量 构成的向量组，通过线性组合得到 三个向量 显然，即使 是线性独立的，也不可能线性组合出 三个性线独立的向量； 更何况 本身可能是 线性相关的。 因此，向量组 必然是线性相关的。 (2) 特别地，若 “代表” 某方程组中的两个方程， 显然，通过线性组合不可能得到更多的独立方程。 1. 向量组之间的线性表示 2. 向量组之间的等价 定义 若向量组 与向量组 能够相互 线性表示 ， 此时, 若记 其中 n 为向量的维数。 则存在矩阵 和 使得 二、向量组的秩 任何一个向量组与它的极大线性无关组是等价的。 例如 则称这两个向量组等价。 1. 向量组之间的线性表示 二、向量组的秩 性质 (1) 反身性， (2) 对称性， (3) 传递性， 即向量组自己与自己等价； 若 与 等价， (I) (Ⅱ) 则 与 等价； (I) (Ⅱ) 若 与 等价，且 与 等价， (Ⅲ) (I) (Ⅱ) (Ⅱ) 则 与 等价。 (I) (Ⅲ) 2. 向量组之间的等价 1. 向量组之间的线性表示 二、向量组的秩 定理 两个等价的向量组中各自的极大线性无关组所含的向量 2. 向量组之间的等价 个数相等。 证明 等价 等价 等价 等价 向量组 极大线性无关组 向量组 极大线性无关组 1. 向量组之间的线性表示 二、向量组的秩 定理 两个等