3.4极大线性无关组.ppt

第3.4节 向量组的极大 线性无关组 2.2 矩阵秩的求法. 行阶梯形矩阵： 例如： 特点： (1)可划出一条阶梯线，线的下方全为零； (2)每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元． 行最简形矩阵： 在行阶梯形矩阵的基础上，还要求非零行的第一个非零元 为数1，且这些1所在的列的其他元素全都为零。 例如： 注：对于任何矩阵，总可以经过有限次初等行变换把它变 为 行阶梯形矩阵和行最简形矩阵。 解：看行秩 例2：求上三角矩阵的秩 看 的线性相关性： 线性无关， 维数增加后得到的 依然线性无关， 而 与 都线性无关， 所以矩阵的秩＝行向量组的秩＝3＝非零行的行数 * 定理1: 复习n维向量及线性相关性 向量 可由向量组 线性表示的 充分必要条件是： 以 为系数列向量，以 为常数项列向量 的线性方程组有解，且一个解就是线性表示的系数。 或者，令 定义： 或者，令 推论2： mn时， m 个n维向量必线性相关. 推论3： n个n维向量线性无关 即 它们所构成方阵的行列式不为零. （注：m个未知数，却只有n个方程） 例4的等价命题是: 若向量组a1,a2,...,am线性无关, 则其任一部分组都是线性无关的. 例4 证明:若向量组a1,a2,...,am中有一部分向量线性相关, 则该向量组线性相关. 证 不妨设a1,a2,...,ar线性相关(rm), 于是有不全为零的数 k1,k2,...,kr使 k1a1+k2a2+...+krar=0, 从而有 k1a1+k2a2+...+krar+0ar+1+...+0am=0, 这就证明了a1,a2,...,as线性相关. 对一向量组, 如部分相关, 则整体相关, 如整体无关, 则任一部分必无关. 因此b1,b2,b3线性相关. 例5 设向量组a1,a2,a3线性无关, 又b1=a1+a2+2a3, b2=a1-a2, b3=a1+a3, 证明b1,b2,b3线性相关. 证 : 设 x1b1+x2b2+x3b3=0 即 x1(a1+a2+2a3)+x2(a1-a2)+x3(a1+a3)=0, (x1+x2+x3)a1+(x1-x2)a2+(2x1+x3)a3=0 由于a1,a2,a3线性无关, 必有 定理：如果一组n维向量a1,a2,...,am线性无关, 那么把这些 向量各任意添加t个分量所得到的新向量组也是线性无关; 这即是说对于上述不全为0的数k1，k2，…，km有 一、等价向量组 定义1：如果向量组 中的每一个向量 都可以由向量组 线性表示，那么就称向量组A可以由向量组B线性表示。 若同时向量组B 也可以由向量组A线性表示，就称 向量组A与向量组B等价。 即 自反性：一个向量组与其自身等价； 对称性：若向量组 与 等价，则 和 等价； 传递性： 与 等价, 与 等价，则 与 等价。 数学上一般将具有上述三种性质称为等价关系； 等价向量组的基本性质 定理： 设 与 是两个向量组，如果 (2) 则向量组 必线性相关。 推论1： 如果向量组 可以由向量组 线性表示，并且 线性无关，那么 推论2：两个线性无关的等价的向量组，必包含相同个数的向量。 (1) 向量组 线性表示； 可以由向量组 二、向量组的极大线性无关组 定义2: 注: （1）只含零向量的向量组没有极大无关组. 简称极大无关组。 对向量组A，如果在A中有r个向量 满足： （2）任意r＋1个向量都线性相关。（如果有的话） 线性无关。 （1） 那么称部分组 为向量组 的一个极大线性无关组。 （2）一个线性无关向量组的极大无关组就是其本身。 （3）一个向量组的任一向量都能由它的极大无关组线性 表示 例如：在向量组 中， 首先 线性无关， 又 线性相关， 所以 组成的部分组是极大无关组。 还可以验证 也是一个极大无关组。 注：一个向量组的极大无关组一般不是唯一的。 例1 全体n维实向量构成的集