5第五章用差分法和变分法解平面问题2010.ppt

三 、应用 应力边界条件求出边界节点上的 应力边界条件： 具体的推导分析教材叙述的非常详细，同学们可以自习。 在应用差分法中，内结点数与以内结点为本点所列出的差分方程数相等，而对列差分方程时要用到的边界结点和边界外一行的结点采用下列方法处理： 1、对边界结点，利用应力函数加上一个线性函数并不影响应力的特点，通过把函数加上 ，并调整系数 ，使对某个基点A有 ；对于边界上其它点B，利用下列公式求得： 上面是积分形式（从定点到动点）的应力边界条件。其物理意义是： 表示从A到B边界上x向面力的主矢量 表示从A到B边界上y向面力的主矢量改号 表示从A到B边界上面力对B点的力矩，在图示坐标系中以顺时针向为正。 2、对边外一行的虚结点，可用下列公式求解（如图第一节网格所示）： * * * * * * * * * * 解：结合边界位移边界条件，同时考虑到对称性的情况:v为x的偶函数，u为x的奇函数。 取试函数为： （1）假设只取u，v中一项，设定位移的试函数为 （2）位移的试函数满足位移边界条件 （3）令位移分量满足位移变分方程并求得待定系数。将u，v带入平面应力问题的形变势能公式： 同时已知a=b， 得到： 形变势能 将U表达式带入位移变分方程 考虑边界条件：体力 ，面力只存在于y=b边， 将所得结果带入得， 联立解得， （4）求位移分量： 将所求系数带入u,v的表达式得： 取 ，求得应力分量为： 变分法小结 1 位移变分法适用于具有各种边界条件的问题，适用范围广。 2 变分法中设定的试函数，一般局限于某种函数的范围内，并不完全任意，因此变分法的解答是近似的。 3 位移为近似解答，求导运算后精度还会降低。因此，用位移变分法求解问题，应力的精度低于位移的精度。因此为了使所求应力分量达到所需精度，必须取更多的系数。 4 虽然变分法的难点在于：a 试函数必须满足一定的边界条件；b 若试函数所取的项较多时，计算量很大；但与解常微分方程比较，变分法还是有效的、实际的，得到广泛应用的。 5 变分法是有限元法的理论基础。将连续体中的变分原理应用到离散化的结构中，是导出有限单元法的主要途径。随着近几十年来有限元法的广泛应用和发展，变分法应用也得到很大的促进。 本章小结 1 导数的差分公式 基本差分公式 2、应力函数的差分解法 应力函数表示的相容方程的差分方程： 该方程相当于应力函数的双调和方程。观察方程的脚标我们发现，的脚标与结点的序号之间有很有意思的联系：的脚标与结点的相对位置紧密相连。为本点、为近点、为角点、为远点，上式可以这样记忆： 20本点 — 8近点 + 2角点 + 远点 = 0 应用差分公式，结点0处的应力分量表达式为： 3、用应力函数的差分法求解问题的步骤 1）、在边界上选定基点A，令 ，计算边界上各点的 。 2）、求出边界外一行虚结点处的值 3）、对每个内结点根据 列差分方程，联立求解个内结点的 值。 4）、计算边界外一行各结点处的 值。 5）、应用下列式子求各结点的应力值。 4、变分法的概念及功与能的相关概念 就本质而言，变分法就是把弹性力学基本方程的定解问题变为求泛函的极值（或驻值）问题，在求近似解时，进而又转换位求解函数极值（或驻值）问题，且将问题归结为求解线性方程组。 形变势能密度： 形变势能 ： 5、变分方程、极小势能原理和虚功方程 变分方程：在实际平衡状态发生位移的变分是，所引起的形变势能的变分，等于外力功的变分。 极小势能原理：在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位移状态中，实际存在的一组位移应是总是能成为极值 。可以证明，对于稳定平衡状态，这个极值是极小值。极小势能原理的表达式为： 虚功方程：如果在虚位移发生之前，弹性体处于平衡状态，那么，在虚位移过程中，外力在虚位移上