9、常微分方程初值问题数值解法.ppt

§1 引 言 §2 简单的数值方法与基本概念 §3 龙格—库塔(Runge-Kutta)法 §4 收敛性与稳定性 §5 线性多步法 n=5;h=1/n; x=0:h:1; y(1)=1; for i=1:n k1=-20*y(i); k2=-20*(y(i)+h/2*k1); k3=-20*(y(i)+h/2*k2); k4=-20*(y(i)+h*k3); y(i+1)=y(i)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4); end format short e; x,y 选做：P382, 7. 一、线性多步法的一般公式 二、Adams显式与隐式公式 三、米尔尼方法与辛普森方法（P366） 四、汉明方法（P367） 五、预测—校正方法（P368） * 第9章 常微分方程初值问题数值解法 一、欧拉法和后退欧拉法 clear; y=1, x=0, %初始化 for n=1:10 y=1.1*y-0.2*x/y, x=x+0.1, end y = 1 x = 0 y = 1.1000 x = 0.1000 y = 1.1918 x = 0.2000 y = 1.2774 x = 0.3000 y = 1.3582 x = 0.4000 y = 1.4351 x = 0.5000 y = 1.5090 x = 0.6000 y = 1.5803 x = 0.7000 y = 1.6498 x = 0.8000 y = 1.7178 x = 0.9000 y = 1.7848 x = 1.0000 二、梯形方法 三、单步法的局部截断误差与阶 四、改进的欧拉公式(预测—校正法) clear x=0,yn=1 %初始化 for n=1:10 yp=yn+0.1*(yn-2*x/yn); %预测 x=x+0.1; yc=yn+0.1*(yp-2*x/yp) ; yn=(yp+yc)/2 %校正 end 作业：P381, 1, 2(1). 一、显式龙格—库塔法的一般形式 二、二阶显式龙格—库塔方法 三、三阶与四阶显式R—K方法 阶数p和段数r（计算函数值次数）的关系 1 2 3 4 4 5 6 r-2 p 1 2 3 4 5 6 7 r≥8 r 解：h=0.2; x=0:0.2:1; y(1)=1; for i=1:5, k1=y(i)-2*x(i)/y(i); k2=y(i)+h/2*k1-(2*x(i)+h)/(y(i)+h/2*k1); k3=y(i)+h/2*k2-(2*x(i)+h)/(y(i)+h/2*k2); k4=y(i)+h*k3-2*(x(i)+h)/(y(i)+h*k3); y(i+1)=y(i)+h/6*(k1+2*k2+2*k3+k4); end x,y x = 0 0.2000 0.4000 0.6000 0.8000 1.0000 y = 1.0000 1.1832 1.3417 1.4833 1.6125 1.7321 四、变步长R—K方法 选择步长问题的提出. 选择步长问题的两个考虑: 怎样衡量和检验计算结果的精度? 如何依据所获得的精度处理步长? 通过步长加倍或减半处理步长的方法称为变步长方法. 作业：P381, 2(1), 5(1). 一、收敛性与相容性 二、绝对稳定性与绝对稳定性域 h=0.025; x=0:0.025:0.1; y1(1)=1;y2(1)=1; for i=1:4 y1(i+1)=-1.5*y1(i); end for i=1:4 y2(i+1)=y2(i)/3.5; end t=0:0.001:0.1; w=exp(-100*t); plot(x,y1,+,x,y2,.,t,w,-) *