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华中理工大学计算机学院 陆枫 99-7 1999年7月 第7章 三维变换及三维观察 7.1 三维变换的基本概念 7.1.1 三维齐次坐标变换矩阵 7.1.2 几何变换 图形的几何变换是指对图形的几何信息经过平移、比例、旋转等变换后产生新的图形。 点的矩阵变换 线框图的变换 用参数方程描述的图形的变换 三维图形变换分为三维几何变换和投影变换。 投影变换就是把三维立体（或物体）投射到投影面上得到二维平面图形。 平面几何投影主要指平行投影、透视投影以及通过这些投影变换而得到的三维立体的常用平面图形：三视图、轴测图以及透视图等。 观察投影是指在观察空间下进行的图形投影变换。 7.1.3 平面几何投影 投影中心、投影面、投影线：? 平面几何投影可分为两大类： 透视投影的投影中心到投影面之间的距离是有限的 平行投影的投影中心到投影面之间的距离是无限的 优点: 用此方法引出的变换公式形象直观,好理解。 缺点: 用户选择较好的视点(投影中心)比较困难。 7.1.4 观察投影 7.2 三维几何变换 7.2.1 三维基本几何变换 三维基本几何变换都是相对于坐标原点和坐标轴进行的几何变换。 假设三维形体变换前一点为p(x,y,z)，变换后为p(x,y,z)。 1. 平移变换 2. 比例变换 (1)局部比例变换 例子：对如图7-6所示的长方形体进行比例变换，其中a=1/2，e=1/3，j=1/2，求变换后的长方形体各点坐标。 ? (2)整体比例变换 3. 旋转变换 (1)绕z轴旋转 (2)绕x轴旋转 (3)绕y轴旋转 4. 对称变换 (1)关于坐标平面对称 关于xoy平面进行对称变换的矩阵计算形式为：? 关于yoz平面的对称变换为： 关于zox平面的对称变换为: (2)关于坐标轴对称变换 关于x轴进行对称变换的矩阵计算形式为：? 关于y轴的对称变换为： 关于z轴的对称变换为： 5. 错切变换 (1)沿x方向错切? (2)沿y方向错切 (3)沿z方向错切 6. 逆变换 所谓逆变换即是与上述变换过程的相反的变换 (1)平移的逆变换 (2)比例的逆变换 局部比例变换的逆变换矩阵为： 整体比例变换的逆变换矩阵为：? (3)旋转的逆变换 7.2.2 三维复合变换 三维复合变换是指图形作一次以上的变换，变换结果是每次变换矩阵相乘。? 1. 相对任一参考点的三维变换 相对于参考点F(xF,yF,zF)作比例、旋转、错切等变换的过 程分为以下三步： (1)将参考点F移至坐标原点 (2)针对原点进行三维几何变换 (3)进行反平移 2. 绕任意轴的三维旋转变换 问题：如何求出为TRAB。? 分析： 公式推导： (1) 将坐标原点平移到A点 (2) 将OBB绕x轴逆时针旋转α角，则OB旋转到xoz平面上 (3) 将OB绕y轴顺时针旋转β角，则OB旋转到z轴上。 (4) 经以上三步变换后，AB轴与z轴重合，此时绕AB轴的旋转转换为绕z轴的旋转。 (5) 最后，求TtA，TRx，TRy的逆变换，回到AB原来的位置。 类似地，针对任意方向轴的变换可用五个步骤来完成： (1)使任意方向轴的起点与坐标原点重合，此时进行平移变换。 (2)使方向轴与某一坐标轴重合，此时需进行旋转变换，且旋转变换可能不止一次。 (3)针对该坐标轴完成变换。 (4)用逆旋转变换使方向轴回到其原始方向。 (5)用逆平移变换使方向轴回到其原始位置。 例：相对于F(xF,yF,zF)点进行比例变换 * * 提出问题 如何对三维图形进行方向、尺寸和形状方面的变换 如何进行投影变换 如何方便地实现在显示设备上对三维图形进行观察 华中科技大学计算机学院 陆枫 [x+Tx y+Ty z+Tz 1] [ax ey i z 1] [x y z s]=[x/s y/s z/s 1] s≥1时，整体缩小；0s1时整体放大； s0,对原点作对称等比变换． ** **