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5.2-估计总体的数字特征
1996年美国亚特兰大奥运会上中国香港风帆选手李丽珊,以惊人的耐力和斗志,勇夺金牌,为香港的体育史揭开了“突破零”的新一页. 在风帆比赛中,成绩以低分为优胜。比赛共11场,并以最佳的9场成绩计算最终的名次。 尽管此时还有4场比赛没有进行,但这里我们可以假定每位运动员在各自的11场比赛中发挥的水平大致相同(实际情况也确实如此),因而可以把前7场比赛的成绩看作是总体的一个样本,并由此估计每位运动员最后比赛的成绩。 从已经结束的7场比赛的积分来看,李丽珊的成绩最为优异,而且表现最为稳定,因此在后面的4场比赛中,我们有足够的理由相信她会继续保持优异而又稳定的成绩,从而获得最后的冠军。 于是我们假设之后的比赛中,他们都发挥正常,夺冠希望最大的就是李丽珊. 当然,事实也进一步验证了我们的预测,李丽珊正是凭着自己优异而稳定的表现,成为香港首位奥运金牌得主的。 * * 如:有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次,每次命中的环数如下: 甲: 7 8 7 9 5 4 9 10 7 4 乙: 9 5 7 8 7 6 8 6 7 7 如果你是教练,你应当如何对这次射击作出评价?如果这是一次选拔性考核,你应当如何作出选择? 如果看两人本次射击的平均成绩,由于 两人射击的平均成绩是一样的.那么两个人的水平就没有什么差异吗? 环数 频率 4 5 6 7 8 9 10 0.1 0.2 0.3 (甲) 4 5 6 7 8 9 10 0.1 0.2 0.3 0.4 环数 (乙) 频率 直观上看,还是有差异的. 如:甲成绩比较分散,乙成绩相对集中(如图示).因此,我们还需要从另外的角度来考察这两组数据. 先计算两人本次射击的平均成绩是多少? 考察样本数据的分散程度的大小,最常用的统计量是标准差.标准差是样本平均数的一种平均距离,一般用s表示. 从数学的角度考虑,人们有时用标准差的平方 分散程度的工具. 来代替标准差作为测量样本数据 前七场比赛结束后,排名前五位的选手在比赛中的积分如表1-8所示: 表1-8 根据上面的比赛结果,我们如何比较各选手之间的成绩及稳定情况呢?如果此时让你预测谁将获得最后的胜利,你会怎么看? 由表1-8,我们可以分别计算五名选手前七场比赛积分的平均数和标准差,分别作为度量各选手比赛的成绩和稳定情况的依据,结果如表1-9所示 李科 5 威尔逊 4 贺根 3 简度 2 李丽珊 1 积分标准差 平均积分 运动员 排名 3.14 4.57 5.00 6.29 6. 57 1.73 2.77 2.51 3.19 3.33 表1-9 从表1-9可以看出:李丽珊的平均积分和标准差都比其他选手小,也就表明,在前7场的比赛过程中,她的成绩最优秀且最稳定. 用样本估计总体时,如果抽样的方法比较合理,那么样本可以反映总体的信息,但从样本得到的信息会有偏差.在上面的活动中,尽管所有的样本都来自同一个总体,从这些样本中所得到的有关总体的估计仍然可能互不相同,这一现象是由抽样的随机性引起的.如果抽样方案没有问题的话,那么这些结论之所以不同,其原因就在于样本的随机性.在随机抽样中,这种偏差是不可避免的. 虽然我们从样本数据得到的分布、平均数和标准差(通常称之为样本分布、样本平均数和样本标准差)并不是总体真正的分布、平均数和标准差.而只是总体的一个估计,但这种估计是合理的,特别是当样本量很大时,它们确实反映了总体的信息. *
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