§1初等数论-绪论.ppt

阜阳师范学院 数科院 初等 数论 欢迎你参加 初等数论的学习 绪 论 作业 1.谈谈我的大学生活。 2 如果可以重来，你会如何度过你的大学生活。 3 未来的职业规划（考研，考公务员还是当老师或准备自主创业）谈谈你的看法。 注：以上三个任选一个，要求字数不少于3页，下周上课时交。 3、算术 公元3世纪，古希腊数学家丢番图的著作《算术》 是关于代数的一部最早的巨著，涉及代数数论的解析 处理问题，代表了古希腊代数思想的最高成就。 并且，这部著作中引用了许多缩写符号，如未知 量及其各次幂用S、△r、Kr、△r△、△Kr、KrK等符 号。无论从内容与形式上讲，这种完全脱离几何的特 征，与当时古希腊欧几里得几何盛行的时尚大异其趣。 因此，丢番图的《算术》虽然代表了古希腊代数学的 最高水平，但是它远远超出了同时代人，而不为同时 代人所接受，很快就被湮没，没有对当时数学的发展 产生太大的影响。 直到15世纪《算术》被重新发掘，鼓舞了一大 批数学家在此基础之上，把代数学大大向前推进 了。首先是法国数学家蓬贝利认识到《算术》的 重大价值，他的同胞韦达正是在丢番图缩写代数 的启示下才做出了符号代数的贡献，到17世纪， 费马手持一本《算术》，并在其空白处写写画画， 竟把数论引上了近代的轨道。《算术》中的不定 分析，对现代数学影响也很深远，在不同数域上， 凡是涉及不定方程求解问题，现在都称之为“丢 番图方程”或“丢番图分析”。 4、代数学 《代数学》由伊斯兰数学家、天文学家花拉子莫 ﹝约783─约850﹞所著，该书1183年被译成拉丁文传 入欧洲。比较流行的一种说法认为西文中“代数学” ﹝Algebra﹞一词是由阿拉伯文的拉丁转写al-jabr 演变而来，后渐称该书为《代数学》，一般认为该 著作是近代意义下的代数学的真正肇始之作。　 全书由三部分组成，第一部份讲述现代意义下的 初等代数；第二部份讲各种实用算术问题。最后列举 了大量有关遗产继承的各种问题。全书不使用符号， 而是用语言叙述。　 5、几何学 《几何学》是法国数学家笛卡儿一生中所写的惟 一的数学著作。它是作为笛卡儿的名著《更好地指导 推理和寻求科学真理的方法论》（简称《方法论》） 的三个附录之一，于1637年出版的。 《几何学》在《方法论》中大约占100页，共分三 卷，讨论的全是关于几何作图问题。笛卡儿在这本书 中，将逻辑、代数和几何方法结合到一起，勾画了解 析几何的方法。笛卡儿所提出的方程与曲线的思想， 最终被人们所逐渐接受，并且《几何学》也被认为是 论述解析几何的一部经典之作。 《几何学》首页 笛卡儿，1596－1650，法国哲学家、数学家、物理学家， 解析几何学奠基人之一。 6、几何基础 《几何基础》（Grundlagen der Geometrie）是 德国著名数学家希尔伯特所著，1899年初版，此后 不断再版，至1930年已出第七版。希尔伯特精确地 提出公理体系应有相容性、独立性和完备性的要求， 把空间内的点、直线、平面作为不定义的概念，规 定它们之间存在着关联关系顺序关系、合同关系， 这些关系由五组公理得以保障：关联公理；顺序公 理；合同公理；平行公理；连续公理。记述了希尔 伯特为欧几里得几何学给出的上述公理体系的《几 何基础》出版后，立即引起了整个数学界的关注， 并视为一部经典的著作。因为，希尔伯特上述工作 的意义远超出了几何基础的范围，而使他成为现代 公理化方法的奠基人。 六、学习数论的意义 本课程主要简单介绍在初等数论研究中经常 用到的若干基础知识、基本概念、方法和技巧。 通过本课程的学习，使学生加深对整数的性质 的了解，更深入地理解初等数论与其它邻近学科的 关系, 使学生掌握初等数论的基本理论和方法，为 从事中小学数学有关内容的教学奠定基础。同时， 培养学生数论理论研究的能力，将数论应用于其他 学科，尤其是信息科学研究的能力。 数论是一门高度抽象的数学学科，长期以来， 它的发展处于纯理论的研究状态，它对数学理论的 发展起到了积极的作用，但多数人不清楚它的实际 意义。 由于近代计算机科学和应用数学的发展，数论 得到了广泛的应用。比如在计算方法、代数编码、 组合论等方面都广泛使用了初等数论范围内的许多 研究成果；又文献报道，现在有些国家应用“孙子 定理”来进行测距，用原根和指数来计算离散傅立 叶变换等。此外，数论的许多比较深刻的研究成果 也在近似分析、差集合、快速变换等方面得到了应 用。特别是现在由于计算机的发展，用离散量的计 算方法去逼近连续量而达到所要求的精度成为可能。 七 主要参考书 1. 于秀源 《初等数论》 山东教育出版社 2002 2. 阎满富 《初等数论及其应用》