《微积分》第一篇第一章--函数.ppt

（二）幂函数 例如： 归纳幂函数的性质： 要学会将这些函数转化为幂函数的形式 （三）指数函数 指数函数的运算性质可依据幂函数 的运算性质(1)--(5)。 （四）对数函数 其中a为底数，x为真数 就称为以3为底的对数函数 归纳对数函数的性质:（其中M,N0） 注意：对数一定要“同底数”才能相加减 (a0) 七. 函数的运算 1、四则运算：加、减、乘、除——与我们 通常所知数的运算一样。 2、复合运算——这对我们来说，是一种新的运算。 直观地说就是两个函数，一个函数里面再套 一个函数，就是复合。 例 7.1 解： 其中u称为中间变量. 由此可见，简单函数经过复合运算，会变成复杂函数。更重要的是，我们可以研究：复杂函数是由哪些简单函数通过复合运算得来的？即复合函数的分解。 例如：函数 可以看作是： 三个函数复合而成。 例 7.2 将初等函数 分解为基本初等函数的复合运算或 四则运算。 解： 有些函数在它的定义域的不同部分,其表达式不同，亦即用多个解析式表示函数，这类函数称为分段函数. 例 8.1:绝对值函数 八. 分段函数 注意 1．分段函数的定义域是其各段定义域的并集； 【例8.1】 求函数 的定义域。 【解】 定义域D= ２．分段函数在其整个定义域上是一个函数，而不是几个函数. 2．求分段函数的函数值，先要确定x取值所对应的表达式，然后再代入求值。 【例 8.2】 给定函数 解： 关键是要注意自变量所在的范围，不同的范围用不同的公式计算函数值。 【练习】 给定函数 【解】 九、经济函数 经济函数主要包括： 1、需求函数q(p) (p为价格) 2、成本函数C(q) 3、收入函数R(q) 4、利润函数L(q) 生产和经营活动中，人们所关心的问题是产品的成本、销售收入（又称为收益）和利润． 它包括固定成本和可变成本． （一）需求函数q(p) (p为价格) （二）成本函数 平均成本： （三）收入函数 【例9.1】某商品的需求函数为q=100-3p,求 收入函数R(q). 【解】 （四）利润函数 【例9.2】 解： 生产某种产品的固定成本为1万元， 每生产一个该产品所需费用为20元，若该产品出售的单价为30元，试求： (1) 生产x件该种产品的总成本和平均成本； (2) 售出x件该种产品的总收入； (3) 若生产的产品都能够售出，则生产x件该种产品的利润是多少？ （1）生产x件该种产品的总成本为； 平均成本为 （2）售出x件该种产品的总收入为 （3）生产x件该种产品的利润为 【例9.3】 解 设该产品的线性需求函数为 高等数学基础微积分 本章重点 1、函数概念 2、函数的定义域 3、函数值的计算 4、函数奇偶性的判别 本章难点 复合函数的分解 第一篇第一章－－函 数 一. 函数概念 函数是微积分学的关键概念，没有函数，就没有微积分学。 1.在某一变化过程中可以取不同数值的量称为变量。 【例如】 复利问题 圆的面积 一般用x,y,z,s,t等表示变量。 2.在某过程中始终同一数值的量称为常量, 3.变量的取值范围称为该变量的变域。 注：变域可用区间、不等式表示： 【例如】 圆周率 中山到广州的直线距离S 一般用大写字母X,D,L等表示变域。 一般用a,b,c,k等表示常量。 4、函数的定义（P--5） 记作：y＝f (x) ，并称 y 是 x 的函数， 其中x是自变量，y是因变量，f是对应规则。 函数y＝f (x) 是两个变量之间的关系， 其中x是自变量，y是因变量，f 是对应规则。 定义域 值域 对应法则 函数的定义域：是使函数有意义的自变量x取值的全体。 也就是自变 量x允许取值的范围。 二. 求定义域 确定函数定义域的三条基本要求： (1) 分式的分母不能为零。即若 则要求 (2) 偶次方根下的表达式非负。 即若： 则要求 (3) 对数函数中的真数表达式大于零。 即若： 则要求 【例 2.1】 【解】 于是所求的函数的定义域为 【例 2.2】 求函数 的定义域。 【解】 要使得表达式有意义,必须 解这组不等式，得 所以，所求函数的定义域为： 写成区间的形式，得到定义域： x －3 －2 2 【练习1】 【解】 公共部分 【练习2】 【解】 x －3 －2 3 得到定义域： 接下来将： 写成区间的形式 三. 计算函数的值 就是将自变量的值代入函数的表达式中，计算出因变量(函数)的值来。 解： 【练习3】 设 则 解： 所以选择C. 更复杂一点，可以根据函数在某个表达式上的值，反过来求该函数的计算公式。 例 3.2 已知 解： 代入已知表达式得到： 再将变量 u 替换成 x