电磁场数学方法-数学物理方程5格林函数.ppt

电子科技大学电磁场数学方法课程组 电磁场数学方法 第二篇 数学物理方程 电磁场数学方法 任课教师：陈其科 联系方式：E_mail：qkchen@uestc.edu.cn 电 话总 学 时: 80课时 教 材：梁昆淼，《数学物理方程》（第四版） 成绩构成：平时20%+半期考试20%+期末考试60% 第二篇 数学物理方程 要想探索自然界的奥秘，就得解微分方程 ---牛顿 课程内容 三种方程 四种求解方法 二个特殊函数 行波法√ 分离变量法√ 积分变换法× 格林函数法 波动方程√ 热传导√ 拉普拉斯方程√ 贝赛尔函数√ 勒让德函数√ 第八章 格林函数法 格林（Green）函数，又称为点源影响函数， 是数学物理中的一个重要概念。 格林函数法是解数学物理方程的常用方法之一． 格林函数物理意义： 表征一个点源在一定的边界条件下和初始条件下所产生的场。 格林函数应用： 若能求出某点源所对应的格林函数（场），即可用叠加的方法计算出任意源所产生的场． 第八章 格林函数法 一个格林函数应用的实例： 静电荷（点电荷）产生电位分布满足泊松方程： 而在静电场问题中，点源即为点电荷。位于r’处的单位点电荷产生的电位分布为： 泊松方程在无界空间的格林函数 则任意分布电荷 在无界空间产生电位 第八章 格林函数法 §8.1 点源的表示 §8.2 泊松方程的积分解 §8.3 格林函数的求解 （一）狄拉克函数 由于Green函数与点源产生的场相关，因此首先讨论点源的密度分布函数的数学表达形式。 以电荷为例： 若为点电荷： 狄拉克函数 具有与点电荷分布相似的性质。 §8.1 点源的表示 （一）狄拉克函数 狄拉克函数定义： 主要相关性质： (1) (2) §8.1 点源的表示 狄拉克函数常用于描述能量或质量在空间或时间上高度集中的各种现象，如：质点、点电荷、点光源，脉冲信号等。 (归一性) (选择性) (3) (可导性) (4) (可分离变量性) （一）狄拉克函数 狄拉克函数相关公式： 直角坐标系下： 柱面坐标系下： 球面坐标系下： 一维展开式： §8.1 点源的表示 （一）格林公式 §8.2 泊松方程的积分解 设 和 在区域T内有连续二阶导数，在其边界 上有连续的一阶导数。 第一格林公式 第一格林公式： （一）格林公式 §8.2 泊松方程的积分解 设 和 在区域T内有连续二阶导数，在其边界 上有连续的一阶导数。 第一格林公式 第二格林公式： 同理： 相减 第二格林公式 （二）泊松方程的定解问题表示 §8.2 泊松方程的积分解 根据边界条件的给定方式，边界条件可分为三类： 第一类边界条件： 第二类边界条件： 第三类边界条件： （1) 边界条件一般形式 （三）利用格林函数法求解泊松方程 §8.2 泊松方程的积分解 设在区域D中某点 处存在一电量为 的点电荷，其产生的场满足泊松方程，由 格林函数的定义，有 （2) （1) 求 第二格林公式 左边= （三）利用格林函数法求解泊松方程 §8.2 泊松方程的积分解 若通过（2）式求出格林函数 ，并根据原问题边界条件确定格林函数满足的边界条件，则可由上式求解出点 处的场的解。 边界条件给定 泛定方程给定 泊松方程积分解 §8.2 泊松方程的积分解 1、第一类边值问题时的泊松方程解 （1) 由于格林函数是引入的待确定函数，已知条件并未对其进行限定。我们可设定其边界条件为 ，则 其中： 第一类边值问题格林函数 （三）利用格林函数法求解泊松方程 §8.2 泊松方程的积分解 3、第三类边值问题的泊松方程解 （3) 令格林函数满足边界条件 （4) 其中： 第三类边值问题格林函数 （三）利用格林函数法求解泊松方程 §8.2 泊松方程的积分解 2、第二类边值问题的泊松方程解 （1) 令格林函数满足边界条件 其中： 第二类边值问题格林函数？ （三）利用格林函数法求解泊松方程 无解 §8.2 泊松方程的积分解 2、第二类边值问题的泊松方程解 引入推广的格林函数 推广的第二类边值问题格林函数 （三）利用格林函数法求解泊松方程 （一）无界空间的格林函数 基本解 §8.3 格林函数的求解 确定了格林函数G，即可得泊松方程边值问题的解。而格林函数求解比直接求解边值问题简单。