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二重积分及其性质 教学目的：二重积分及其计算 教学重点：二重积分的基本性质 教学难点：有限与无限的转化 二重积分及其性质 二重积分 引入 性质 定义 几何意义 线性性 区域可拆分性 保序性 积分中值定理 设有一立体，它的底是xoy平面上的有界闭区域D 它的侧面是以D的边界曲线为准线而母线平行于z轴的柱面. 顶是由二元非负连续函数表示的曲面z = f (x, y) 这种立体称为D上的曲顶柱体 曲顶拄面的体积 对于平顶柱体，即f (x, y)≡h，这里h是大于0的常数，有 体积 = 底面积×高 但曲顶柱体的高f (x, y)在区域D上是变量，当点(x, y)在区域D上变化时，高f (x, y)不断变化，因而曲顶柱体的体积不能用上面的公式来计算. 但我们可以仿照求曲边梯形面积的思路. 分析 将D划分为n个小闭区域： 以每个小区域为底，以它们的边界曲线为准线作母线平行于z轴的柱面，形成许多小曲顶柱体. 原曲顶柱体被分割成n个小曲顶柱体. 曲顶柱体体积的近似等于 n个小曲顶柱体的体积之和 例题 步骤如下： 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积， 先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域， 曲顶柱体的体积 每个小曲顶柱体可以近似地看成是一个平顶柱体 例题 区域D分割得越细密，小曲顶柱体的体积和越接近体积V. 为了得到V的精确值，令n个小区域的最大直径λ→0， 则小曲顶柱体的体积和的极限就是曲顶柱体的体积V，即 例题 二重积分的定义 如果当这些小区域的直径的最大值趋于0时，上式的极限总存在，则称函数f(x, y)在区域D上可积，此极限值称为函数f (x, y)在区域D上的二重积分. 例题 注1 要从定义来判定一个二重积分是否存在是困难的.为应用方便，我们介绍一个与定积分存在定理类似的结论. 定理1 在有界闭区域D上连续的函数必在D上可积. 特别，在有界闭区域D上有定义的初等函数必在D上可积. 因此，以后我们一般不就可积性问题展开讨论. 例题 例题 ，，…， (同时以这些记号表示相应小区域的面积). 在上任取一点，以为高、以为底的平顶柱体的体积为·，将它作为第i个小曲顶柱体体积ΔVi的近似值，即ΔVi ≈ (i = 1, 2, …，n).. 整个曲顶柱体体积的近似值 定义1 设D是xoy面上的有界闭区域，f (x, y)是D上的有界函数，任意将D划分为n个小区域 ，，…，， O y x Δσn, 同时以这些记号表示相应小区域的面积. 在每个小区域上任取一点， 作乘积 (i = 1, 2, …，n)，并作和 记作. 即 其中f (x, y)称为被积函数，f (x, y)称为被积表达式，D称为积分区域, 称为面积元素，称为二重积分号. a)域D上恒有f (x, y)0，则曲顶柱体的体积 b) 若在区域D上恒有f(x, y)0，则曲顶柱体在xoy平面的下方， 由于－f(x, y)0，此时曲顶柱体的体积为. 表示该曲顶柱体体积的相反数 c) 若在区域D上函数f (x, y)改变符号，则二重积分表示相应的曲顶柱体在xoy平面上方的体积减去它在xoy平面下方的体积. 特别，令 f (x, y)≡1，则有 （D的面积） 注2 在直角坐标系下，若用平行于坐标轴的矩形网格对区域D作划分，那么除了包含边界点的一些小闭区域外(这些小闭区域的面积和趋于0)，其他的小闭区域都是矩形闭区域，设小矩形闭区域的长为Δxi, 宽为Δyi, 则=Δxi·Δyi. 因此在直角坐标系下，常将面积元素记为dxdy 例1 不作计算，估计 的值， 其中是椭圆闭区域： . 在上 , 由性质5知 区域D的面积,