专转本高数第七章第六节多元函数的极值与最值.ppt

由 由实际问题，此即最佳分配方案. * 解法1 例11 因驻点惟一，且由问题的实际含义可知必有最大利润， * 例11 因驻点惟一，且由问题的实际含义可知必有最大利润， 解法2 * 练习： P324 习题七 * * * * 第六节 二元函数的极值与最值 一、二元函数极值 极大值、极小值统称为极值. 使函数取得极值的点称为极值点. * (1) (2) (3) 例1 例２ 例３ * 播放 * 极值的求法 （称驻点） 驻点 极值点 注意： 定理1（必要条件） 问题：如何判定一个驻点是否为极值点？ * 定理2（充分条件） 负定 正定 * 例4 解 无极值 极小值-5 极大值31 无极值 * 二元函数的最值 若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值),而在定义区域内部有惟一的极大(小)值点,则可以断定该极大(小)值点即为最大(小)值点. 设生产某种商品需原料A和B，设A的单价为2，数量为x；而B 的单价为1，数量为y，而产量为 例5 解 且商品售价为5,求最大利润. 利润函数为 * 令 解得惟一驻点 惟一驻点为极大值点， 即为最大值点， 最大利润为 * 例6 解 * 令 * 用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？ 二、条件极值与拉格朗日乘数法 实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域的限制外, 往往还受到一些附加条件的约束,这类极值问题称条件极值问题. 例7 解 即表面积最小. 代入目标函数,化为无条件极值问题： x y z * 内部唯一驻点,且由实际问题S有最大值,故做成立方体表面积最小. 这种做法的缺点： 1.变量之间的平等关系和对称性被破坏； 2.有时解出隐函数困难甚至不可能. * 拉格朗日乘数法 引入拉格朗日函数 令 若这样的点惟一,由实际问题,可直接确定此即所求的点。 * 则构造拉格朗日函数为 令 * 用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？ 例7 解 由实际问题,即为最小值点. x y z * 三、多元函数最大值、最小值及其应用 在实际问题中，经常要求某多元函数在已知区域D内的最大值和最小值.根据实际情况，我们往往可以判断最大值或最小值在区域D的内部达到，若函数在D内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就是最大值点或最小值点. * 例8 解 解得唯一驻点 即做成正三角形时面积最大. * 三角形中,以正三角形面积为最大: 四边形中,以正方形面积为最大： * 解 例9 先求函数在D内的驻点， 解方程组 * 为最小值. * 例10 解 *