函数的单调性[上学期]江苏教育版1.ppt

* * * * * * * * * 函数的单调性 创设情境，引入新课 建立函数的目的是研究函数值与自变量的关系，自变量的变化对函数值变化的影响是经常受到关注的问题．例如水位的涨落随时间变化的规律，是防涝抗旱工作中必须解决的实际问题．下面我们开始研究函数在这方面的一个主要性质——函数的单调性． 下面是某一天温度的变化图象： t T o 3 6 9 12 15 18 21 24 1 3 4 -1 2 -2 5 (小时) （ OC ） 14 1、在上午6时的气温约是多少？全天的最高、最低气温分别是多少？ 2、什么时刻气温是0度？ 3、在什么时段内，气温在0度以上？ 4、说出这一天的气温变化趋势，怎样用数 学语言刻画这一特征。 问题1: 问题1、观察自己所作函数图象，并指出图象的变化的趋势 学生活动 自己作出下列函数的图象： O x y y O x O x y -1 y O x 问题2：你能明确说出“图象呈下降趋势”的意思吗？ 在某一区间内； 当x的增大时，函数值y反而减小 学生讨论 图象在该区间内呈下降趋势； 问题3：你能明确说出“图象呈上升趋势”的意思吗？ 在某一区间内； 当x的增大时，函数值y也增大 学生讨论 结论 图象在该区间内呈上升趋势； 在某一区间内 当x的增大时，函数值y反而减小 图象在该区间内呈下降趋势； 在某一区间内 当x的增大时，函数值y也增大 图象在该区间内呈上升趋势； 函数的这 种性质称为函数的单调性。 X不断增大，f(x)也不断增大 0 X Y X1 X2 f(X1) f(X2) Y X 0 X不断增大，f(x)不断减小 X1 X2 f(X2) f(X1) 函数f (x)在给定区间上为增函数。 O x y 如何用x与 f(x)来描述上升的图象？ 如何用x与 f(x)来描述下降的图象？ 函数f (x)在给定区间上为减函数。 O x y 如果对于属于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1 、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜ f（x2），那么就说f（x）. 在这个区间上是增函数. 如果对于属于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1 、x2，当x1＜x2时，都有f（x1） f（x2），那么就说f（x） . 在这个区间上是减函数. 增函数与减函数定义 建构数学 说明1 函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，就称函数y=f(x)在区间D上具有单调性， D称为函数的单调区间。 说明2 说函数的单调性必须指出所对应的单调区间,单调区间可能是定义域的一部分(如:y=x2),也可能是全部定义域(如:y=x3);一个函数在定义域内可以划分出若干个单调区间,不同的单调区间上可以表现出不同的单调性. 增函数和减函数的定义中两个变量x1,x2: 1. 必须在同一单调区间上; 2. 必须是任意的,不能用定值代替; 3. 必须设定它们的大小关系后,比 较y1,y2 的大小才有意义. 例:下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象，根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区间上， y＝f（x）是增函数还是减函数. 解： y＝f（x）的单调区间有 [－5，－3），[－3，1） [1，3），[3，5]. 其中y＝f（x）在[－5，－3）， [1，3）上 是减函数， 在[－3，1）， [3，5）上是增函数. x y o 3 1 -3 5 -5 数学应用 1. 如图,已知y=f(x) 的图象(包括端点),根据图象说出函数的单调区间,以及在每一单调区间上,函数是增函数还是减函数. 1 2 -2 -1 -1 1 o 作图是发现函数单调性的法之一 单调递增区间： 单调递减区间： x y 2 1 o 例1：证明函数f(x)=2x+1在区间(-∞,+∞)上是增函数。 注意：我们在证明函数的单调性时，不能“以图代证”, 而是严格按照定义证明. 回想一下,定义的本质是什么?本题怎样用定义来证明? 证明： （条件） （论证结果） （结论） 例1：证明函数f(x)=2x+1在区间(-∞,+∞)上是增函数。 证明函数单调性的步骤： 第一步：取值.即任取区间内的两个值，且x1x2 第二步：作差变形.将f(x1)－f(x2)通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断差的符号的方向变形。 第三步：定号.确定差的符号，适当的时候需要进行讨论。 第四步：判断.根据定义作出结论。 取值 作差变形 定号 判断 证明： 设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则 1 －1 －1 O x y 1 减函数 例2：判断函数f(x)=1/x在区间(0