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分形几何简介 浙江大学数学系 姜海益 报告内容 分形几何的发展历史 分形几何的研究对象和研究方法 分形几何的应用 分形几何产生的背景 经典几何的研究对象: 规则的图形，如圆，三角形等． 问题： 　　　对于不规则的图形：如海岸线，云的边界，我们如何研究？如何用计算机去生成？ 下面我们再介绍一些传统方法难以处理的一些问题． 微积分中的一个问题 如何研究在闭区间上处处连续处处不可导的函数：如Weierstrass函数？ 一类Weierstrass函数的具体表达式 其中1s2, 大自然的不规则性: 树木花草、山川河流、烟雾云彩等是不规则的。晶体的生长，分子的运动轨迹等也是不规则的。如何用几何来描述它？ B. Mandelbrot 观察到英国海岸线与Van Koch 曲线的关系，提出了一门描述大自 然的几何形态的学科---分形(Fractal). 迭代（动力系统）的问题 Martin过程(一) Martin过程(二) Martin过程(三) Julia集(一) Julia集(二) Julia集(三) Julia集(四) Julia集(四) Mandelbrot集 Mandelbrot集 分形几何的历史 萌芽期：十九世纪末，二十世纪初. Cantor集，Weierstrass函数等的提出. 形成期：二十世纪六、七十年代. Mandelbrot的大量工作. 1. 1967年，Science, 英国的海岸线有多长？ 2. 1975年，《分形对象：形，机遇和维数》. 分形(fractal)这个词源于这本书. 它是从意思 是“不规则的或者断裂的”拉丁语“fractus”派生 出来的. 英国的海岸线有多长? 测量方法： 我们想象一个人沿着一段海岸线拣尽可能短的道路步行，并规定每步长度不超过?，设这样测得的海岸线长度为L(?).然后重新开始，并使他在海岸线上最长的步长越来越短。 用一只小老鼠代替人测量。 用苍蝇代替小老鼠测量。 测量结论：随着步长?越来越短，我们测量出来的海岸线长度越来越长。 英国的海岸线有多长(续)? Richardson的经验数据 L(?)与??成正比，其中?的值依赖于具体的海岸线。而且对同一海岸线，对不同的区段，常常得到不同的?。在Richardson看来， ?没有什么特别意义。 Mandelbrot的贡献 把?的意义挖掘出来，将1+ ?=D解释为“分形维数”。 分形几何的历史(续) 发展期：二十世纪八十年代至今. 1. Hutchinson, 1981, 分形与自相似. 给出了自相似集合的数学理论基础. 2. Mandelbrot, 1982, 《自然界的分形几何》. 3. Barnsley, 1988, 《Fractal everywhere》. 4. Falconer, 1990, 《分形几何——数学基础 及其应用》. 分形几何的研究对象（一）—自相似集 1 Cantor集 2 Sierpinski垫片 3 Koch曲线 Cantor集C Cantor集C的一些基本性质 1. Cantor集是自相似的. 2. Cantor集有“精细结构”. 3. Cantor集的定义简单明了. 4. Cantor集是由一个迭代过程得到的. 5. Cantor集的几何性质难以用传统的语言来描述. 6. Cantor集的长度等于0，但是点的个数是不可数的. Sierpinsk垫片 Sierpinsk垫片的生成过程—第1步 Sierpinsk垫片的生成过程—第2步 Sierpinsk垫片的生成过程—第3步 Sierpinsk垫片的生成过程—第4步 Sierpinski垫片S的一些基本性质 与Cantor集类似。 面积等于0. Koch曲线 Koch曲线的生成过程—第1步 Koch曲线的生成过程—第2步 Koch曲线的生成过程—第3步 Koch曲线的生成过程—第4步 Koch曲线与雪花曲线—连接在一起的三段Koch曲线构成一个雪花曲线 Koch曲线的一些基本性质 Koch曲线具有与Cantor集，Sierpinski垫片类似的性质： 长度等于无穷. 自相似集合的定义 相似压缩映射的定义： 设f是从Rn到Rn的映射，如果存在常数1c0,使得对于Rn中的任意两点x,y,有 |f(x)-f(y)|=c|x-y|, 我们称f是一个Rn上的相似映射，相似比为c. 关于自相似集合的定理及定义：