反函数的性质.ppt

学习目的： 进一步掌握反函数的概念 掌握互为反函数的两个函数的性质 1.函数y=f（x）的图象和它的反函数y=f -1(x)的图象关于 直线y=x对称; 2.互为反函数的两个函数在各自的定义域内具有相同的 单调性。 3.如果两个函数的图像关于直线y=x对称,那么这两个函数 互为反函数. 4.如果一个函数的图像关于直线y=x对称,那么这个函数的 反函数就是它本身.反之也成立。 5.点P（a，b）关于直线 y=x 对称的点是P1（b，a）. 1、函数y=f（x）的图象和它的反函数 的图象关于直线y=x对称。 * * * 反函数的概念 互为反函数的两个函数的性质 重点难点： 重点： 难点： 互为反函数的两个函数的性质 求函数反函数的步骤: 1? 求原函数的值域 2? 反解x 3? x与y互换 4? 写出反函数及它的定义域 复习： 1.一般函数的反函数在求解时要注意定义域； 2.分段函数求解时注意分段求解并分别注明定义域。 注： 例1、求函数y=3x-2（x∈R）的反函数，并画出原函数和它的反函数的图象。 解：从y=3x-2，解得 。因此，函数y=3x-2 的反函数是 函数y=3x-2（x∈R）和它的反函数 的图象如图 o x y Y=x Y=3x-2 1 例2、求函数y=x3（x∈R）的反函数，并画出原来的函数和它的反函数的图象。 解：从y=x3，解得 ，所以函数y=x3（x∈R）的反函是 。 函数y=x3（x∈R）和它的反函数 的图像如图 y x 0 性质： 6. 若函数f(x)在其定义域D上是单调增函数, 求证它的反函数f-1(x)也是增函数。 证明：在f-1(x)的定义域内任取x1,x2且x1x2 令 f-1(x1)=y1, f-1(x2)=y2 于是有f(y1)=x1; f(y2)=x2 所以 f(y1)f(y2) 因为f(x)在其定义域D上是增函数，所以y1y2 所以 f-1(x1)f-1(x2)，所以f-1(x)也是增函数 例3：若点P（1，2）在函数 的图象上，又在它的反函数的图象上，求a，b的值。 解：由题意知, 点P(1,2)在函数 的反函数的图象上，根据互为反函数的函数图象关于直线y=x对称的性质知，点P1（2，1）也在函数 的图象上。 解得， a=-3，b=7 因此，得 例4、若函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称，且f（x）=（x-1）2（x≤1）求g（x2） 解：∵函数f（x）与g（x）的图象关于直线y=x对称 ∴ g（x）是f（x）的反函数， ∴ g（x）=f -1（x）= 小结： 互为反函数的两个函数的 性质 2、互为反函数的两个函数在各自 的定义域内具有相同的单调性。