向量的数量积和向量积.ppt

* 第三节 向量的数量积和向量积 一、 两向量的数量积 二、 两向量的向量积 一、两向量的数量积 1 定义 两个向量a和b的模与它们之间夹角的余弦之积， 称为向量a与b的数量积， 记作a·b,即 数量积也称点积。 力学意义： 一物体在力F的作用下， 沿直线AB移动了S， F与AB的夹角为α, 如右图， 则力对物体做的功为 B S A θ F 2 性质： （1） a·a=|a|2 （2） （3） θ表示两非零向量a和b的夹角，则有 3 运算律 （1）交换律 （2）分配律 （3）结合律 其中λ为常数。 4 数量积的计算公式 设向量 则有 证明： 则有两非零向量a和b的夹角θ的余弦坐标表示为 此时，对于非零向量a，b，有 5 向量在轴上的投影 设A为空间一点，u轴已知，如图。 A u 过点A作与轴垂直的平面， 平面与轴 的交点A‘称为A在轴上的投影。 A 对于已知向量 ， u轴上的有向 线段 的模称为向量 在轴u 上的投影， 它是一个数量，记作 B B 那么 θ为向量 与轴u的夹角。 用e表示u轴上的单位向量， 则a·e为向量a在e方向 上的投影，那么有 例1 已知a={1，1，-4}，b={1，-2，2}， 求： （1）a·b； （2）a与b的夹角； （3）a在b上的投影。 解：（1） （2） 所以 （3） 因为 所以 例2 求证余弦定理 θ为边CA，CB的夹角。 证明： 如图所示的△ABC， 令 A B C θ 可得 那么 所以 证毕 二、两向量的向量积 1 定义 设向量c由两个向量a和b按下列规定给出： （1）|c|=|a| |b| sinθ， θ为向量a和b的夹角； （2） ，且向量a，b ， c的方向满足右手定则，如图； 那么向量c称为向量a和b的向量积， 记作a×b，即 C= a×b 向量积又称为叉积。 ★向量积模的几何意义是：以 a，b为邻边的平行四边形的面积。 a b c θ O为一根杠杆L的支点， L O P F 有一个力F作用于其上点P处， F与 的夹角为θ， θ 由力学 规定， 力F对支点O的力矩是一个向量M， Q 它的模 而M的方向垂直于 与F所决定的平面， M的指向是 是按右手规则从 以不超过π的角的转向F来确定， 因而实际上 ★力学意义：力矩， 如下图所示。 2 两向量积的性质 （1）a×a=o； （2） （3）若a≠o，b≠o，a，b的夹角为θ，则 3 两向量的向量积的运算律 （1） a×b=-b×a； （2）（λa）×b=a×（λb）=λ（a×b （λ为常数） （3）（a+b）×c=a×c+b×c *