场论初步课件.pptVIP

* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 数学分析 第二十二章 曲面积分 高等教育出版社 数学分析 第二十二章 曲面积分 高等教育出版社 数学分析 第二十二章 曲面积分 高等教育出版社 数学分析 第二十二章 曲面积分 高等教育出版社 一、场的概念 二、梯度场 在物理学中, 曲线积分和曲面积分有着广泛的应用. 物理学家为了既能形象地表达有关的物理量, 又能方便地使用数学工具进行逻辑表达和数据计算, 使用了一些特殊的术语和记号, 在此基础上产生了场论. §4 *场论初步 数学分析 第二十二章 曲面积分 *点击以上标题可直接前往对应内容 三、散度场 四、旋度场 五、管量场与有势场 若对全空间或其中某一区域 V 中每一点 M, 都有一 个数量 (或向量) 与之对应, 数量场 (或向量场). M 的位置可由坐标确定. 总是设它对每个变量都有一阶连续偏导数. 重力和速度都是向量场. 等于给定了一个数量函数 在以下讨论中 §4 场论初步 场的概念 梯度场 散度场 旋度场 管量场与有势场 场的概念 后退 前进 目录 退出 例如: 温度和密度都是数量场, 在引进了直角坐标系后, 点 因此给定了某个数量场就 则称在 V 上给定了一个 同理, 每个向量场都与某个向量函数 相对应. 并假定它们有一阶连续偏导数. 设 L 为向量场中一条曲线. 若 L 上每点 M 处的切线 方向都与向量函数 在该点的方向一致, 即 §4 场论初步 场的概念 梯度场 散度场 旋度场 管量场与有势场 这里 P, Q, R 为所定义区域上的数量函数, 磁力线等都是向量场线. 则称曲线 L 为向量场 的向量场线. 例如电力线、 注 场的性质是它本身的属性, 和坐标系的引进无关. 引入或选择某种坐标系是为了便于通过数学方法来 进行计算和研究它的性质. 在第十七章§3 中我们已经介绍了梯度的概念, 方向上的方向导数. grad u 是由数量场 u 派生出来的一个向量场, 称为 是由数量函数 所定义的向量函数 grad u 的方向就是使方向导 由前文知道, 数 达到最大值的方向, 就是在这个方 梯度场 §4 场论初步 场的概念 梯度场 散度场 旋度场 管量场与有势场 梯度场. 它 因为数量场 的等值面 的法线 方向为 所以 grad u 恒与 u 的等值面 正交. 当把它作为运算符号来看待时, 梯度可写作 引进符号向量 §4 场论初步 场的概念 梯度场 散度场 旋度场 管量场与有势场 注 通常称为哈密顿 (Hamilton) 算符(或算子), 读 作 “Nabla”. 1. 若 u, v 是数量函数, 则 2. 若 u, v 是数量函数, 则 特别地有 梯度有以下一些用 表示的基本性质: §4 场论初步 场的概念 梯度场 散度场 旋度场 管量场与有势场 4. 若 3. 若 则 5. 若 则 这些公式读者可利用定义来直接验证. 解 若以 上的单位向量, 例1 设质量为 m 的质点位于原点, 质量为 1 的质点 位于 记 §4 场论初步 场的概念 梯度场 散度场 旋度场 管量场与有势场 它表示两质点间的引力, 方向朝着原点, 大小与质量的 乘积成正比, 与两点间距离的平方成反比. 力场是数量场 的梯度场, 这说明了引 因此常称 为引力势. 则有 为 V 上的一个向量场. 设 这是由向量场 派生出来的一个数量 场, 也称散度场, 记作 散度场 §4 场论初步 场的概念 梯度场 散度场 旋度场 管量场与有势场 为 的散度. 称如下数量函数: 设 为曲面 S 在各点的单位 法向量,记 , 称为 S 的面积元素向量. 于是 高斯公式可写成如下向量形式: 对上式中的三重积分应用中值定理, 使得 在 V 中任取一点 令 V 收缩到 §4 场论初步 场的概念 梯度场 散度场 旋度场 管量场与有势