多元函数积分概念与性质2011.pptVIP

若区域D可用极坐标的不等式 o x D a b 解 令 则在极坐标系中， 于是 例6 计算 显然 由于 从而 例 7 计算反常积分 解 设 例6 例6 而 从而 因此 例8 将下列二次积分化为极坐标形式下的 二次积分： 解 积分区域：D: 在极坐标下，D： 于是 解 在极坐标下，将D分为二部分表示： 于是 解 在极坐标下，D分为二部分表示： 于是 解 例9 求Bernoulli双纽线 围成的面积A. 解 双纽线在极坐标下的方程为： 由 的周期性得图形的对称性，而且当 从 增加到 时， 由零增加到 ，再减少 到零，于是可得如图所示的双纽线图形。 （2）变换T： 把 uov平面上的区域 一对一的变为 D， 定理1 设（1） （3）?(u,v),?(u,v)在 上具有一阶连续偏导数， 且： 三.二重积分的换元法 二重积分的换元公式 例10 计算 解 于是 * 将一元函数积分学中的“分割、近似、求和、 取极限”思想推广，运用到多元函数情形。 第1节 多元数量函数积分的 概念和性质 1.曲顶柱体的体积 曲顶柱体：以XOY平面上的闭区域D为底，以D 的边界曲线为准线，母线平行于Z 轴的 柱面为侧面，并以z=f(x,y) 为顶的空间立体. 一. 两个实例： 如何求此曲顶柱体的体积V？微元法思想. 分割： 把 D 任意分成 n 个小区域 (同时用 表示第 i 个小区域的面积），分别以 的边界为准线作母线平行于 z 轴的柱面，则原曲顶柱体分成了 n 个小的曲顶柱体。 近似 ： 任取 ， 则以 为底的小曲顶柱 体体积: y x z D o 求和： 取极限：区域中任意两点距离的最大值称为该区域的直径，记 则： 设有一物体对应于空间曲面? ,?(x,y,z) 为密度 函数(连续）， 现要求该物体的质量 m。 2. 质量： 分割：把?任意分成n 小块 ， 表示 第 i 小块曲面的面积。 近似：任取 ，则第 i小块曲面的质量 取极限： 求和： 二. 数量函数积分的概念 定义1 二重积分； 三重积分： 其中?称为积分域，f 称为被积函数，f(M)d ?称为被积式或积分微元。 几种具体的类型： 第一型曲线积分 （对弧长的曲线积分）： 第一型曲面积分 （对面积的曲面积分）： L称为积分路径。 数量函数积分的几何意义： 当 时， = 以D为底,以 为顶的曲顶柱体的体积； 数量函数积分的物理应用之一： 三. 积分存在的条件和性质. 必要条件: f 在?上可积，则f 在?上有界。 1.线性性质： 2.可加性 3.积分不等式 若 则 5.中值定理 特别地，有 若 则 的边界为准线，母线平行于 z 轴的柱面为侧面，D为底面，曲面 由二重积分的几何意义知：以 xoy 平面上的区域 为顶面的曲顶柱体的体积为 第2节 二重积分的计算 一. 直角坐标系中二重积分的计算： x b x a o y z 任取 ，过 x 轴作平行于yoz坐标面的平面，此平面与曲顶柱体之交为一曲边梯形，设其面积为 ，则 先y后x的二次积分(累次积分) 而该体积也可用定积分的方法求得: b x a o x y z X -型区域：任一平行 y 轴的直线与D的边界的交点至多只有两个。 上面假定 ，但实际上上公式对一般的 也成立。对各种不同类型的积分区域D，二重积分化为二次积分的情况总结如下： D a b o y x o y x D a b D d c o y x D c d o y x Y -型区域：任一平行 x 轴的直线与D的边界的交点至多只有两个。 o y 例