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拉姆齐-卡斯-库普曼斯模型 索洛模型中，将储蓄、人口增长以及技术进步等因素都看作是外生的，本模型则首先将储蓄问题内生化。因此在构建模型过程中，首先将家庭行为引进来。 考察家庭消费性行为须借助于消费的效用函数，家庭消费的决策原则是实现长期家庭整体效用的最大化。 首先建立这种家庭最优消费选择模型的是拉姆赛（Ramsey,1928），凯斯（Cass）和库普曼斯（Koopmans）(1965)又作了改进，我们把这种类型的增长模型称为拉姆赛模型。 1、假定 厂商的生产函数为Y=F(K,AL)，满足于索洛模型相同的假定。 家庭 家庭规模以n速增长 家庭效用函数为 即期效用函数的基本形式假设为： 这一效用函数被称为相对风险回避系数不变的效用函数（跨时期固定替代弹性效用函数）。 相对风险回避系数（边际效用弹性，也可以看成是不同时期消费之间的替代弹性的倒数） -CU(C)/U(C)=θ，与C无关。 θ 值决定了家庭在不同时期转换消费的愿望： θ越小，随着消费的上升，边际效用下降越慢，因此家庭越愿意允许期消费随时间变动。如果θ接近于0，则效用几乎是消费的线性函数。 该效用函数还有三个特点，其一，如果θ小于1，C1-θ随着C递增，如果θ大于1， C1-θ随着C递减，因而确保了消费的边际效用为正。其二，当θ趋近于1时，该效用函数简化为LnC，第三，ρ-n-(1- θ)g大于0，这一假定保证了一生效用不发散。如果这一条件不满足，家庭就可以得到无限大的一生效用，其最大化问题也就没有一个定义良好的解。 将具体的即期效用函数代入家庭效用函数中，并且用每单位有效劳动的平均消费改写家庭目标函数（C(t)=c(t)A(t)），我们得到下面的表达式： 2、家庭与厂商的行为 厂商 完全竞争状态下的厂商，生产函数具有规模报酬不变特征。 资本的边际产品构成了真实利率水平，实际工资表示劳动的所得，关系式如下： 家庭行为 家庭效用最大化的预算约束是，其一生消费的现值不能超过其初始财富加上其一生劳动收入的现值。 由于家庭有L(t)/H个成员，所以家庭在t期的劳动收入为A(t)w(t)L(t)/H，家庭的消费支出为C(t)L(t)/H，家庭的预算约束为（对R(t)的解释见教材p56）： 将上述家庭预算约束表述为每单位有效劳动的平均消费和平均劳动收入，用c(t)表示每单位有效劳动的平均消费，家庭在t期的总消费C(t)L(t)/H，等于每单位有效劳动的平均消费c(t)乘以家庭的有效劳动数量A(t)L(t)/H。 家庭初始资本持有量等于0期每单位有效劳动的平均资本k(0)乘以A(0)L(0)/H，这样我们有下面的家庭预算约束方程： 家庭的问题是在预算约束条件下，选择c(t)的路径以最大化一生的效用。因此我们构造下面的拉格朗日函数 对上述函数求解得到 上面的欧拉方程表明，如果真实利率大于家庭对未来消费进行贴现时的贴现率，则每工人平均消费上升，如果出现相反的情况则下降；θ越小（随着消费变化，边际效用变化越小），在对真实利率和贴现率之差做出反应时，消费的变化越大。 直观地说，欧拉方程描述了给定c(0)的情况下，c如何随时间变动：如果c不按照欧拉方程变动，家庭就可以调整其消费，从而在不改变其一生支出现值的情况下增加一生效用。c(0)决定于如下要求：在所导致的路径上，一生消费的现值等于初始财富加未来收入的现值。如果选择的c(0)太低，沿欧拉方程的路径的消费支出，就会用不完一生的财富，因而以更高的消费路径是可能的，如果c(0)太高，消费支出就会大于一生财富，因而该路径是不可行的。 3、经济的动态学 c的动态学 由于所有家庭是相似的，因此欧拉方程描述的不仅是单个家庭的行为，而且是整个经济中所有家庭的行为。 k的动态学 k的增长等于实际投资减去持平投资，不考虑折旧，则持平投资为（n+g）k，实际投资为产量减去消费，f(k)-c。因此， 相图 将上面关于c和k的相图结合在一起，形成下面关于c和k的动态相位图。图中的箭头表示c和k的变动方向。 上述结论的含义在于，在最优消费增长模型中，无效率的过度储蓄不会出现，这一点与索洛模型不同，原因在于典型的无限存续家庭一旦储蓄过度，马上会意识到这不是它的最优消费路径。寻求最优消费路径的家庭储蓄总是不足以使资本达到黄金分割率水平，这种缺乏耐性的消费行为反映了有效贴现率ρ+θg的影响，减少当前消费以实现最大化的消费路径，即实现黄金分割率的消费水平是不值得的。 c的初始值与鞍点路径 前面的图为给定c和k的初始值的情况下，c和k必须如何随时间变动以满足家庭的跨期最优化条件以及将k的变化与产量和消费联系起来的方程。k的初始值是给定的，c的初始值也必须确定。 假定k(0)小于k*，上页图中给出了c的初始值c(0)处于不同位置时，c和k的轨迹。 对于任一给定的