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3．1.4　空间向量的正交分解及其坐标表示 1．平面向量基本定理的内容是：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使 .不共面的向量e1，e2叫做这一平面内所有向量的一组 ． 2．在平面内，把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量 ． 1．空间向量基本定理 定理：如果三个向量a，b，c ，那么对于空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝ .其中{a，b，c}叫做空间的一个基底， 都叫做基向量． 2．空间向量的正交分解及其坐标表示 1．已知a，b，c是不共面的三个向量，则能构成一个基底的一组向量是(　　) A．2a，a－b，a＋2b　　　 B．2b，b－a，b＋2a C．a,2b，b－c D．c，a＋c，a－c 答案：　C 答案：　C 答案：　(1,1，－1)　(－1,0,1) 以下四个命题中正确的是(　　) A．空间的任何一个向量都可用三个给定向量表示 B．若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量 C．若向量a⊥b，则a，b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底 D．任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底 根据空间基底的定义逐个选项判断． [解题过程] 答案：　B [题后感悟]　(1)空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底； (2)由于0可视为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是0； (3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 1.如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则(　　) A．a与b共线　　　　　　　 B．a与b同向 C．a与b反向 D．a与b共面 解析：　由空间向量基本定理可知只有不共线的两向量才可以做基底，B，C都是A的一种情况，空间中任两个向量都是共面的．故D错． 答案：　A [题后感悟]　判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断． 2.设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底，给出下列向量组： ①{a，b，x}；②{a，b，y}；③{x，y，z}；④{a，x，y}；⑤{x，y，a＋b＋c}． 其中可以作为空间基底的向量组有(　　) A．1个　　　　　　　　　 B．2个 C．3个 D．4个 答案：　C 由题目可获取以下主要信息： ①{a，b，c}是一个基底，②空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心． 解答本题可利用重心的性质，再结合图形进而求得结果． 1．对基底的理解 (1)空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底．基底选定后，空间的所有向量均可由基底惟一表示． (2)由于0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以若三个向量不共面，就说明它们都不是0. (3)空间的一个基底是指一个向量组，是由三个不共面的空间向量构成；一个基向量是指基底中的某个向量，二者是相关联的不同概念． 2．怎样正确理解空间向量基本定理？ (1)空间向量基本定理表明，用空间三个不共面已知向量组{a，b，c}可以线性表示出空间任意一个向量，而且表示的结果是惟一的． (2)空间中的基底是不惟一的，空间中任意三个不共面向量均可作为空间向量的基底． 3．如何理解空间向量与平面向量的正交分解？ 空间向量的正交分解与平面向量的正交分解类似，都需要事先提供一组基底，空间向量表示为p＝xa＋yb＋zc的形式，平面向量表示为p＝xa＋yb的形式． 4．特殊向量的坐标表示 (1)当向量a平行于x轴时，纵坐标，竖坐标都为0，即a＝(x,0,0)； (2)当向量a平行于y轴时，横坐标，竖坐标都为0，即a＝(0，y,0)； (3)当向量a平行于z轴时，横坐标，纵坐标都为0，即a＝(0,0，z)； (4)当向量a平行于xOy平面时，竖坐标为0，即a＝(x，y,0)； (5)当向量a平行于yOz平面时，横坐标为0，即a＝(0，y，z)； (6)当向量a平行于xOz平面时，纵坐标为0，即a＝(x,0，y)． No.1 预习学案 No.2 课堂讲义 No.3 课后练习 工具 第三章 空间向量与立体几何 栏目导引 a＝λ1e1＋λ2e2 基底 正交分解 7 4 不共面 x