数理统计的基本概念.ppt

数理统计的任务就是研究怎样有效地收集、整理、分析所获得的有限的资料，对所研究的问题, 尽可能地作出精确而可靠的结论. 一个统计问题总有它明确的研究对象. 1.总体 … 研究某批灯泡的质量 研究对象的全体称为总体(母体)， 总体中每个成员称为个体. 总体 一、总体和样本 然而在统计研究中，人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具有的数量指标的全体就是总体. 某批 灯泡的寿命 该批灯泡寿命的全体就是总体 国产轿车每公里 的耗油量 国产轿车每公里耗油量的全体就是总体 由于每个个体的出现是随机的，所以相应的数量指标的出现也带有随机性. 从而可以把这种数量指标看作一个随机变量，因此随机变量的分布就是该数量指标在总体中的分布. 这样，总体就可以用一个随机变量及其分布来描述. 而概率分布正是刻划这种集体性质的适当工具. 因此在理论上可以把总体与概率分布等同起来. 从另一方面看 统计的任务,是根据从总体中抽取的样本，去推断总体的性质. 由于我们关心的是总体中的个体的某项指标(如人的身高、体重，灯泡的寿命,汽车的耗油量…) ，所谓总体的性质，无非就是这些指标值的集体的性质. 例如:研究某批灯泡的寿命时，关心的数量指标就是寿命，那么，此总体就可以用随机变量X表示，或用其分布函数F(x)表示. 某批 灯泡的寿命 总体 寿命X可用一概 率分布来刻划 鉴于此，常用随机变量的记号 或用其分布函数表示总体. 如 说总体X或总体F(x) . F(x) 类似地，在研究某地区中学生的营养状况时，若关心的数量指标是身高和体重，我们用X和Y分别表示身高和体重，那么此总体就可用二维随机变量(X,Y)或其联合分布函数F(x,y)来表示. 统计中，总体这个概念 的要旨是：总体就是一个 概率分布. 为推断总体分布及各种特征，按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得有关总体的信息，这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数目称为样本容量. 2. 样本 从国产轿车中抽5辆进行耗油量试验 样本容量为5 但是，一旦取定一组样本，得到的是n个具体的数 (X1,X2,…,Xn)，称为样本的一次观察值，简称样本值 . 样本是随机变量. 抽到哪5辆是随机的 容量为n的样本可以看作n维随机变量. 2. 独立性： X1,X2,…,Xn是相互独立的随机变量. 由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很好地反映总体的信息，必须考虑抽样方法. 最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”，它要求抽取的样本满足下面两点: 1. 代表性： X1,X2,…,Xn中每一个与所考察 的总体有相同的分布. 由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本，它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的随机变量X1,X2,…,Xn表示. 简单随机样本是应用中最常见的情形，今后，当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时，若不特别说明，就指简单随机样本. 若总体的分布函数为F(x)，则其简单随机样本的联合分布函数为 F(x1) F(x2) … F(xn) 事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量身高，得到10个数，它们是样本取到的值而不是样本. 我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量. 3. 总体、样本、样本值的关系 总体（理论分布） ？ 样本 样本值 统计是从手中已有的资料--样本值，去推断总体的情况---总体分布F(x)的性质. 总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律，因而可以由样本值去推断总体. 样本是联系二者的桥梁 由样本值去推断总体情况，需要对样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数，它把样本中所含的（某一方面）的信息集中起来. 二、统计量和抽样分布 1. 统计量 这种不含任何未知参数的样本的函数称为统计量. 它是完全由样本决定的量. 几个常见统计量 样本均值 样本方差 它反映了总体均值 的信息 它反映了总体方差 的信息 样本k阶原点矩 样本k阶中心矩 k=1,2,… 它反映了总体k 阶矩 的信息 它反映了总体k 阶 中心矩的信息 2. 抽样分布 统计量既然是依赖于样本的，而后者又是随机变量，故统计量也是