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11 波函数的性质 粒子图像 波包图像 波粒二象性 薛定谔方程 波函数疑难 干涉图样的概率性 波函数的统计解释 波函数的归一性 构造归一化波函数 波函数是单值的 * * 波函数的性质 对波粒二象性的理解曾经经历过激烈的争论。 与光的双缝干涉实验的情况一样，可以对电子的双缝干涉进行多时间段实验。 结果显示，可以将实物波理解成大量粒子形成的疏密波。 然而，单个电子就具有波动性。 只有承认这一点，才能理解氢原子的量子特性。 也可以将实物波理解成空间中连续分布的波包。 粒子图像： 波包图像： 把波包的想法用到非相对论性自由粒子： 波包的群速度 正是粒子的运动速度。 波包中不同波长的成分速度不一样！ 结果发现，波包的宽度即粒子的线度将随时间改变。 这与实际观测到的结果明显矛盾。 看来，无论把实物波理解成疏密波还是波包，都带有片面性，不能完整地反映实物的量子特性。 电子究竟是什么？ 在经典力学的观念中，一个粒子有确定的质量和电荷，并有确切的位置和运动轨道；一个波则对应某种实在的物理量的变化，并呈现出相干叠加性。 根据经典的粒子观，如果电子是粒子，它在双缝实验中必定只穿过一条缝，因此不可能生成干涉图样。 根据经典的波动观，如果电子是波，就不可能在屏幕上打出一个一个分立的光点。 因此，电子在穿越双缝时必定表现出波的行为，而在接触屏幕时则表现出粒子的行为。 这意味着电子所呈现的粒子性，只是经典粒子概念中的颗粒性，并不与确切的轨道相联系。 而它所呈现的波动性，只是波动中最本质的叠加性。并不与实在的物理量的变化相关联。 电子干涉实验的结果表明，单次撞击是不可预言的。 尽管如此，由于每次做实验都得到相同的干涉图样，因此，干涉的总体图样是可以预言的。 统计图样的可预言性表明，德布罗意波也是可预言的。 1926年，奥地利物理学家欧文 · 薛定谔找到了预言德布罗意波的数学方程，叫做薛定谔方程。 这是一个二阶的线性偏微分方程： 波函数 代表粒子的总能量 代表粒子的动能 外力的作用改变粒子能量的方式 拉普拉斯算符 薛定谔方程是牛顿运动方程在量子理论中的等价物，是量子理论中的基本方程，也是量子力学的基本假定，其正确性只能靠实验来检验。 牛顿运动定律预言了粒子在外力作用下的精确行为， 与牛顿运动定律相似，薛定谔方程也预言了实物粒子在外力作用下的行为方式(波函数)。 薛定谔方程有助于阐明和预言大自然的行为， 但是，它并没有解决量子疑难： 一个电子通过双缝干涉仪时究竟发生了什么？ 电子走的路径实际上是哪一条？ 电子的干涉图样的本质是什么？ 波函数到底代表了什么？ …… 1926年，玻恩提出：干涉图样必定代表了每一个电子的概率图样： 概率是对事物的可能性程度的度量。 凡是一个特定实验的结果不确定，但多次重复的总的统计结果可以预言时，概率就起作用； 对于一次无欺诈的投币实验，正面或反面朝上的概率都等于50%； 投币实验是宏观的实验，它的概率遵从牛顿定律到很高的近似程度。 一个电子在多次相同的实验中的统计结果； 许多电子在一次实验中的统计结果； 波函数实际上代表了电子在空间中出现的概率。 更确切地说，电子的波函数 一旦给定，则 表示在r点附近的体积元 中找到粒子的概率。 其中 叫做概率密度，在实验中代表干涉图样的强度分布。 波函数的统计解释 因此，实验给出的干涉图样代表电子在屏幕上出现的概率分布。 沿着这条思路，玻恩得出结论： 伴随着每个电子的德布罗意波实际上是该电子出现的概率波。 原则上说，投币实验的结果是可以预言的。每次投币的不确定性只是由于对实验细节的无知引起的； 量子事件甚至原则上就不可预言。 波函数的统计解释赋予波函数明确的物理意义，从而在物理上对波函数提出了若干要求： 1.在任何有限体积中找到粒子的概率是有限的。 有限值 一般情况下，这意味着波函数本身必须是有限的。 2. 由于粒子在空间各点出现的概率总和为 1 ，因此，波函数满足归一化条件： 如果波函数尚未归一化，即 在这个尚未归一化的波函数前面乘上一个常数因子，构造出一个新的波函数： 于是，在全空间找到粒子的概率 让这个新的波函数满足归一化条件 归一化因子 由此得到了一个新的、满足归一化条件的波函数。 由于量子理论只讨论粒子在空间中各点出现的相对概率，因此，波函数有一个常数因子的不确定性。 这意味着 与 描写粒子的同一个量子态。 这一点与经典力学中的波函数有显著的区别。 粒子在作一维运动时处于如下的状态， 计算归一化因子，求出找到粒子的可能性最大的位置？ *