离散数学-3-6关系的性质.pptVIP

第三章 集合与关系 3-6 关系的性质 授课人：李朔 Email:chn.nj.ls@ 一、自反性 P110 定义3-6.1 设R是A上的二元关系,如果对于每个x∈X，有xRx,则称二元关系R是自反的。 R在X上自反?(?x)(x?X →xRx) 例如: 实数集上的“”,三角形的全等关系是自反的 在实数集合中，“≤”是自反的，因为对于任意实数x≤x成立。 设R是X上的自反关系，可知，R的关系矩阵MR的主对角线全为1；在关系图中每一个结点上都有自回路。 例如 A={1,2,3},R={〈1,1〉,〈2,2〉,〈3,3〉,〈1,2〉}是自反的.其关系图和关系矩阵如下图。 二、对称性 定义3-6.2 设R是A上的二元关系,如果对于每个x,y∈X，每当有xRy,就有yRx则称二元关系R是对称的。 R在X上对称?R在X上对称?(?x)(?y)(x?X∧y?X∧xRy →yRx) 例如：平面上三角形集合中的相似关系是对称的。 R是X上的对称关系，可知，R的关系矩阵MR是对称阵。在R的关系图中，如果两个不同的结点间有边，一定有方向相反的两条边。 例如,A={1,2,3},R4={〈1,2〉,〈2,1〉,〈3,3〉}是对称的.其关系图和关系矩阵的特点如图 三、传递性 P111 定义3-6.3 设R是A上的二元关系,如果对于任意x,y,z∈X，每当有xRy,yRz就有xRz则称二元关系R是传递的。 R在X上对称? (?x)(?y)(?z)(x?X∧y?X∧z?X∧xRy∧yRz → xRz) 例如：实数集上的,,=都是传递的，人集合上的祖先关系 例如 A={1,2,3,4},R5={〈4,1〉,〈4,3〉,〈4,2〉,〈3,2〉,〈3,1〉,〈2,1〉}是传递的.其关系图和关系矩阵如下图。 练习 例：如A={a，b，c}，R={a,a，b,b，a,b，b,a}是A上的一个二元关系，问关系R具有哪些性质？为什么？ 答：R是对称且传递的，但R不是自反的，因为对于c?A，没有c,c ?R。 练习 有人说：集合A上的关系R，如果是对称且传递的，则它也是自反的。其理由是，从aRb，由对称性得bRa，再由传递性得aRa，你说对吗？为什么？ 答：不对！因为不是每一个a， aRa成立。 自反性是说对于每一个x?X，有x，x?R。 对称性是说每当x，y?R，就有y，x?R，没有要求对于每一个x?X。 传递性是说每当x，y?R，y，z?R时就有x，z?R ，也没有要求对于每一个x?X。 因此不能从一个关系是对称且传递的推出它是是自反的。 四、反自反性 P111 定义3-6.4 设R是A上的二元关系,如果对于每个x∈X，有x,x?R,则称二元关系R是反自反的。R在X上反自反?(?x)(x?X→x,x ?R) 数的大于关系，日常生活中的父子关系都是反自反的。 设R是X上的反自反关系，可知，R的关系矩阵MR的主对角线全为0；在R的关系图中每一个结点上都没有自回路。 例如 设X=?1,2,3?，X上的二元关系R=??1,2?,?2,3?,?3,1??，R是反自反的,它的关系图，关系矩阵如下： 四、反自反性 例题3,R={〈1,1〉,〈1,2〉,〈3,2〉,〈2,3〉,〈3,3〉}既不是自反的,又不是反自反的。其关系图和关系矩阵如下图所示。 五、反对称性 定义3-6.5 设R是A上的二元关系,如果对于每个x,y∈X，每当有xRy和yRx必有x=y，则称二元关系R是反对称的。 R在X上反对称?(?x)(?y)(x?X∧y?X∧xRy∧yRx ?R→x＝y) 设R是X上的反对称关系，可知，在R的关系矩阵MR中以主对角线为轴的对称位置上不能同时为1(主对角线除外)。在R的关系图中每两个不同的结点间不能有方向相反的两条边。可以存在自回路 主对角线上可以为1。所以存在既是对称的又是反对称的关系。 P112 例 例如 设X=?1,2,3?，X上的二元关系R=??1,2?,?2,3?,?3,3??，R是反对称的。它的关系图，关系矩阵如下： 思考练习 例.给出集合A={1,2,3}上的如下几个关系: R={1,1,1,2,1,3,3,3} S={1,1,1,2,2,1,2,2,3,3} T={1,1,1,2,2,2,2,3} φ=空关系 A×A=全域关系 满足自反性、对称性、传递性、反对称性、反自反性的关系各有哪些？ 思考练习 例.给出集合A={1,2,3}上的如下几个关系: R={1,1,1,2,1,3,3,3} S={1,1,1,2,2,1,2,2,3,3} T={1,1,1,2,2,2,2,3} φ=空关系 A×A=全域关系 判断它们各有哪些性质. 解:自反性:S,A×A 对称性:S,φ,A×A 传递性:R,S,φ,