导数的应用-函数极值与最值.pptVIP

中值定理与导数的应用 函数的极值及其求法 最大值最小值问题 第五节 函数的极值与 最大值最小值 定义 极大值 (或极小值), 函数的极大值与极小值统称为 极值. 极值点. 一、函数的极值及其求法 1. 函数极值的定义 使函数取得极值的点x0称为 函数的极大值、极小值 是局部性的. 在一个区间内, 函数可能存在许多个极值, 最大值与最小值, 有的极小值可能大 于某个极大值. 只是一点附近的 观察 极值点的切线有什么特征？ 平行于x轴 切线平行于x轴是否必为极值点？ 定理1(必要条件) 注 如, (1) 可导函数的极值点 驻点却不一定是极值点. 但函数的 2. 极值的必要条件 必是驻点, 极值, 极值点也可能是导数不存在的点. 如, 但 怎样从驻点中与导数不存在的点判断一点 (2) 不可导. 是极小值点. 是不是极值点 即：极值点可能在两类点中取到： 一阶导数零点；一阶导数不存在的点. 拐点可能在两类点中取到： 二阶导数零点； 二阶导数不存在的点. 定理2(第一充分条件) 则 为极大值 则 不是极值. (极小值); 3. 极值的充分条件 . ) , ( 0 o 0 内可导 的某去心邻域 d x U x 一般求极值的步骤 求导数; 求驻点与不可导点; 求相应点两侧的导数符号,判别增减性; 求极值. (1) (2) (3) (4) 不是极值点 例 解 (1) (2) 驻点: 导数不存在的点: (3) 列表.求相应区间的导数符号,判别增减性, 确定极值点和极值. 非极值 极小值 不存在 极大值 驻点: 导数不存在的点: 单调增加区间: 单调减少区间: 定理3(第二充分条件) 证 极大值 (极小值). 极值的二阶充分条件 因此, 当 充分小时, 由极限的保号性 可见, 与 异号. 所以, 第一充分条件 对于驻点,有时还可以利用函数在该点处的二阶导数的正负号来判断极值点. 注 (1) 定理3(第二充分条件)不能应用. 事实上, 可能有极大值, 也可能有极小值, 也可能没有极值. 如, 分别属于上述三种情况. (2) 已经知道驻点未必是极值点，第二充分条件实际上指出了，二阶导不为零的驻点一定是极值点. 例 解 因为, 例 解 所以, 第一充分条件 极值判别法的两个充分条件 第一充分条件对函数在点处是否可导没有要求，只要求在点的邻域内可导. 第二充分条件则要求在该点处二阶可导. 二、最大值最小值问题 1.最值的求法 已经知道，[a, b]上的连续函数必定存在最值. 最值可能在以下点处取到： 驻点 端点 不可导点 (1) 其中最大(小)者 求连续函数 f (x)在闭区间[a, b]上的最大(小)值的方法: 将闭区间[a, b]内所有驻点和导数不存在的 区间端点的 就是 f (x) 点(即为极值嫌疑点)处的函数值和 函数值 f (a), f (b)比较, 在闭区间[a, b]上的最大(小)值. 解 驻点: 最大值与最小值. 例 在分段点x=1，x=2是否可导？ 在x=1处 所以x=1是不可导点. x=2是否可导？ 同理，x=2也是不可导点 驻点: 最大值 最小值 不可导点： (2) 对实际问题常常可事先断定最大(小)值必在 区间内部取得, 如果连续函数在区间内又仅有 一个极值嫌疑点, 那末这点处的函数值就是最 大(小)值. 例 解 目标函数 得 2. 应用举例 (1) (2) 求最大值点 半径为R. 求内接于球的圆柱体的最大体积,设球的 设圆柱体的高为2h, 底半径为r, 体积为V, 圆柱体的最大体积一定存在, 故唯一驻点 就是最大值点, 最大体积为 令 得 (舍去负值) 唯一驻点 (1) 从实际问题中抽象出数学模型，写出其目标函数，从而转化为数学问题. 具有实际问题背景的最值问题一般思路： 注 (2) 从数学的角度分析最值可能的点，并结合实际背景，判断是否是最值点. 例 某房地产公司有50套公寓要出租,当租金定为每月720元时,公寓会全部租出去.当租金每月增加40元时,就有一套公寓租不出去,而租出去的房子每月需花费80元的整修维护费.试问房租定为多少可获得最大收入? 解 设房租为每月x 元， 租出去的房子有 每月总收入为 套 明显，x应该大于720. （唯一驻点） 故每月每套租金为1400元时收入最高. 最大收入为 课下阅读材料：教材例4-例7. 是非题 极值点是不是驻点？满足什么条件的极值点是驻点？ 驻点是不是极值点？满足什么条件的驻点是极值点？ 最值点是不是极值点？满足什么条件的最值点是极值点？ 极值点是不是最值点？满足什么条件的极值点是最值点？ 分清四类点：驻点—极值点—拐点—最值点. 作业 作业册