积分变换第6讲拉氏变换的性质及应用.ppt

积分变换第6讲 拉氏变换的性质 本讲介绍拉氏变换的几个性质, 它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的. 为方便起见, 假定在这些性质中, 凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件, 并且把这些函数的增长指数都统一地取为c. 在证明性质时不再重述这些条件 1. 线性性质 若a,b是常数 L [f1(t)]=F1(s), L [f2(t)]=F2(s), 则有 L [af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s) L -1[aF1(s)+bF2(s)]=af1(t)+bf2(t) 此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出. 2.微分性质 若L [f(t)]=F(s),则有 L [f (t)=sF(s)-f(0) (2.3)证 根据分部积分公式和拉氏变换公式 推论 若L [f(t)]=F(s), 则L [f (t)]=sL [f(t)]-f (0) =s{sL [f(t)]-f(0)}-f (0) =s2L [f(t)]-sf(0)-f (0)...L [f(n)(t)]=sL [f(n-1)(t)]-f(n-1)(0) =snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f (0)-...-f(n-1)(0) (2.4)特别, 当初值f(0)=f (0)=...=f(n-1)(0)=0时, 有L [f (t)]=sF(s), L [f (t)]=s2F(s), ..., L [f(n)(t)]=snF(s) (2.5)此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化为F(s)的代数方程. 例1 利用微分性质求函数f(t)=cos kt的拉氏变换.由于f(0)=1, f (0)=0, f (t)=-k2cos kt, 则L [-k2cos kt]=L [f (t)]=s2L [f(t)]-sf(0)-f (0).即 -k2L [cos kt]=s2L [cos kt]-s移项化简得 例2 利用微分性质, 求函数f(t)=tm的拉氏变换, 其中m是正整数.由于f(0)=f (0)=...=f(m-1)(0)=0, 而f(m)(t)=m!所以L [m!]=L [f(m)(t)]=smL [f(t)]-sm-1f0)- sm-2f (0)-...-f(m-1)(0)即 L [m!]=smL [tm] 此外, 由拉氏变换存在定理, 还可以得到象函数的微分性质:若L [f(t)]=F(s), 则 F (s)=L [-tf(t)], Re(s)c. (2.6)和 F(n)(s)=L [(-t)nf(t)], Re(s)c. (2.7)这是因为对于一致绝对收敛的积分的积分和求导可以调换次序 例3 求函数f(t)=t sin kt的拉氏变换. 3. 积分性质 若L [f(t)]=F(s) 重复应用(2.8)式, 就可得到: 由拉氏变换存在定理, 还可得象函数积分性质:若L [f(t)]=F(s), 则 例4 求函数 的拉氏变换. 其中F(s)=L [f(t)]. 此公式常用来计算某些积分. 例如, 4.位移性质 若L [f(t)]=F(s), 则有 L [eatf(t)]=F(s-a) (Re(s-a)c). (2.12)证 根据拉氏变换式, 有 上式右方只是在F(s)中将s换为s-a, 因此 L [eatf(t)]=F(s-a) (Re(s-a)c) 例5 求L [eattm]. 例6 求L [e-atsin kt] 5. 延迟性质 若L [f(t)]=F(s), 又t0时f(t)=0, 则对于任一非负数t?0, 有 L [f(t-t)]=e-stF(s) (2.13)证 根据(2.1)式, 有 函数f(t-t)与f(t)相比, f(t)从t=0开始有非零数值. 而f(t-t)是从t=t开始才有非零数值. 即延迟了一个时间t. 从它的图象讲, f(t-t)是由f(t)沿t轴向右平移t而得, 其拉氏变换也多一个因子e-st. 例7 求函数 的拉氏变换. 例8 求如图所示的阶梯函数f(t)的拉氏变换.利用单位阶跃函数u(t)可将f(t)表示为 利用拉氏变换的线性性质及延迟性质, 可得 当Re(s)0时, 有|e-st|1, 所以, 上式右端圆括号中为一公比的模小于1的等比级数, 从而 一般地, 若L [f(t)]=F(s), 则对于任何t0, 有 例9 求如图所示的单个半正弦波f(t)的拉氏变换 由前图可知, f(t)=f1(t)+f2(t), 所以 例10 求如下图所示的半波正弦函数fT(t)的拉氏变换 由例9可得从t=0开始的单个半正弦波的拉氏变换为 从而 这是一个求周期函数拉氏变换的简单