第4讲线性微分方程解的结构.pptVIP

* 高等院校非数学类本科数学课程 —— 一元微积分学 大 学 数 学（一） 第四讲 线性微分方程解的结构 脚本编写：彭亚新 教案制作：彭亚新 第七章 常微分方程 本章学习要求： 了解微分方程、解、通解、初始条件和特解的概念. 了解下列几种一阶微分方程：变量可分离的方程、齐次方 程、一阶线性方程、伯努利（Bernoulli）方程。 熟练掌 握分离变量法和一阶线性方程的解法. 会利用变量代换的方法求解齐次方程和伯努利方程. 知道下列高阶方程的降阶法： 了解高阶线性微分方程阶的结构，并知道高阶常系数齐次 线性微分方程的解法. 熟练掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法. 掌握自由项（右端）为多项式、指数函数、正弦函数、余 弦函数以及它们的和或乘积的二阶常系数非齐次线性微分方 程的解法. 1. 二阶线性齐次微分方程的性质和解的结构 2. 二阶线性非齐次微分方程解的结构 3. n 阶线性微分方程解的结构 第四节 高阶线性微分方程的一般理论 1. 二阶线性齐次微分方程的性质和解的结构 二阶线性微分方程的一般形式为 通常称 ( 2 ) 为 ( 1 ) 的相对应的齐次方程。 二阶线性齐次微分方程的性质和解的结构 （1）叠加原理 （2） 线性无关、线性相关 （3）朗斯基 ( Wronsky ) 行列式 （4） 二阶线性齐次微分方程解的结构 （5）刘维尔公式 1. 二阶齐次线性微分方程的性质和解的结构 (1) 叠加原理 的解，则它们的线性组合 也是方程 (2) 的解， 你打算怎么证明这个原理？ 证 的解，则它们的线性组合 也是方程 (2) 的解。 推 广 在什么情况下，叠加所得可以成为方程 (2) 的通解？ (2) 线性无关、线性相关 ? 例 证 由三角函数知识可知，这是不可能的，故 （3）朗斯基 ( Wronsky ) 行列式 例 （4） 二阶线性齐次微分方程解的结构 定理 1 的两个线性无关的解，则 是方程 (2) 的通解。 定理 2 例 解 又容易看出： 而 由叠加原理，原方程的通解为 问题： 该问题的解决归功于数学家刘维尔。 代入方程中，得 怎么做？ 关于 z 的一阶线性方程 即 故有 两边积分，得 关于 z 的一阶线性方程 （5）刘维尔公式 为原方程的通解。 则 例 解 由刘维尔公式 故原方程的通解为 2. 二阶线性非齐次微分方程解的结构 (1) 解的性质 (1) 解的性质 性质 1 的一个特解，则 是原方程的一个特解。 性质 2 是其对应的齐次方程 的一个特解。 性质 3 的一个特解，则 是方程 的一个特解。 性质 4 的一个特解。