第一章矢量分析.pptVIP

研究宏观电磁场与电磁波之前，我们先介绍分析矢量场和标量场的数学工具，矢量分析。 1.1 矢量及其代数运算 当闭合面中有源时，矢量通过该闭合面的通量一定为正；反之，当闭合面中有洞时，矢量通过该闭合面的通量一定为负。所以，前述的源称为正源，而洞称为负源。 梯度的意义 标量场的梯度是一个矢量，是空间坐标点的函数。 梯度的大小为该点标量函数 的最大变化率，即最大方向导数。 梯度的方向为该点最大方向导数的方向。 电位场的梯度 电位场的梯度与过该点的等位线垂直； 数值等于该点的最大方向导数； 指向电位增加的方向。 * * 1.1 矢量分析与场论基础 1.4 标量场的梯度 1.2 矢量场的通量与散度 1.3 矢量场的环量与旋度 第一章 矢量分析 Vector Analysis 本章要求 掌握矢量场的计算，熟练掌握在常用的几种坐标系中通量与散度，环量与旋度的计算。 标量：只有大小，没有方向的物理量（温度，高度等） 矢量：既有大小，又有方向的物理量（力，电、磁场强度） 矢量的表示方式 注：矢量书写时，印刷体为场量符号加粗，如 。教材上符号即为印刷体。 矢量可表示为： 其中 为其模值，表征矢量的大小； 为其单位矢量，表征矢量的方向； 1.标量与矢量 矢量的运算 则： 说明：矢量间不存在除法运算。 场是一个标量或一个矢量的位置函数，即每一时刻每个位置该物理量都有一个确定的值，则称在该空间中确定了该物理量的场。 例如，在直角坐标下： 标量场 物理量为标量 矢量场 物理量为矢量 如温度场、电位场、高度场等； 如流速场、电场、涡流场等。 2.矢量场与标量场 2、常用坐标系 直角坐标系 单位矢量： 位置矢量： 基本变量： 圆柱坐标系 单位矢量： 位置矢量： 基本变量： 球面坐标系 单位矢量： 位置矢量： 基本变量： 坐标变换 圆柱坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系 球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系 通量： 矢量 E 沿某一有向曲面 S 的面积分称为矢量 E 通过该有向曲 面 S 的通量，以标量 ? 表示，即 1.2 矢量场的通量与散度 通量可为正、或为负、或为零。当矢量穿出某个闭合面时，认为该闭合面中存在产生该矢量场的源；当矢量进入这个闭合面时，认为该闭合面中存在汇聚该矢量场的洞（或汇）。闭合的有向曲面的方向通常规定为闭合面的外法线方向。 ? 0 (有正源) ? 0 (有负源) ? = 0 (无源) 由物理得知，真空中的电场强度 E 通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面包围的自由电荷的电量 q 与真空介电常数 ? 0 之比，即， 可见，当闭合面中存在正电荷时，通量为正。当闭合面中存在负电荷时，通量为负。在电荷不存在的无源区中，穿过任一闭合面的通量为零。这一电学实例充分地显示出闭合面中正源、负源及无源的通量特性。但是，通量仅能表示闭合面中源的总量，它不能显示源的分布特性。为此需要研究矢量场的散度。 散度：当闭合面 S 向某点无限收缩时，矢量 A 通过该闭合面S 的通量与该闭合面包围的体积之比的极限称为矢量场 A 在该点的散度，以 div A 表示，即 式中div 是英文字母 divergence 的缩写， ?V 为闭合面 S 包围的体积。上式表明，散度是一个标量。散度物理意义可理解为通过包围单位体积闭合面的通量。 (无源） (正源) (负源) 因此散度可用算符 ? （哈密顿算符）表示 直角坐标系中散度可表示为 球面坐标系下： 柱坐标系下： 由散度定义 高斯定理的证明 该公式表明了矢量场的散度在体积V内的积分等于矢量场在限定该体积的边界面S上的积分（通量）。 对于有限体积V，可将其进行分割，对每一小体积元有 高斯定理 或 环量：矢量场 A 沿一条有向曲线 l 的线积分称为矢量场 A 沿该曲线的环量，以 ? 表示，即 1.3 矢量场的环量与旋度 可见，若在闭合有向曲线 l 上，矢量场 A 的方向处处与线元 dl 的方向保持一致，则环量 ? 0；若处处相反，则 ? 0 。可见，环量可以用来描述矢量场的旋涡特性。 环量的大小与闭合路径有关，它表示绕环线旋转趋势的大小。 由物理学得知，真空中磁感应强度 B 沿任一闭合有向曲线 l 的环量等于该闭合曲线包围的传导电流强度 I 与真空磁导率 ? 0 的乘积。即 式中电流 I 的正方向与 dl 的方向构成 右旋 关系。由此可见，环量可以表示产生具有旋涡特性的源的强度，但是环量代表的是闭合曲线包