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第一节 不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 基本积分表 不定积分的性质 不定积分的几何意义: 二、 基本积分表 内容小结 思考与练习 3. 若 4. 若 5. 求下列积分: 6. 求不定积分 7. 已知 作 业 习题4-1 * 1/22 第四章 不定积分 加法和乘法有逆运算——减法和除法， 微分法的逆运算——积分法。 微分法： 已知一个函数，求其导数或微分。 积分法： 求一个函数，使其导数是一个已知函数。 背景： 已知速度求路程、已知加速度求速度、已知切线斜率求曲线等。 微分法: 积分法: 互逆运算 例 一、原函数与不定积分的概念 定义 若在 I 上恒有 F? (x)=f(x)（即 dF(x)=f(x)dx），称 F(x) 为 f(x) 在 I 上的一个原函数。 问题： (1) 满足什么条件的函数有原函数？若有，是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ (3) 若原函数存在，如何求出？ = = 定理 1(原函数存在定理)： 简言之：连续函数一定有原函数. ——这个定理下一章证明。 定理2 (关于原函数的说明)： （1）若 ，则对于任意常数 ， （2）若 和 都是 的原函数， 则 （ 为任意常数） 证 （ 为任意常数） 简言之：同一函数的任意两个原函数必相差一个常数。 积分常数 积分号 被积函数 不定积分的定义： 被积表达式 积分变量 函数f在区间I上的全体原函数称为f在I上的不定积分， 不定积分与原函数是总体与个体的关系。 设F(x)是f(x)的一个原函数，则f(x)的不定积分是一个函数族{F(x)+C},写作： 前面几例可写作： 后两个不易直接看出，需要依赖积分法。 例1 求 解 解 例2 求 例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程. 解 设曲线方程为 根据题意知 由曲线通过点（1，2） 所求曲线方程为 的原函数的图形称为 的图形 的所有积分曲线组成 的平行曲线族. 的积分曲线 . 每条积分曲线上，横坐标相同的点处的切线是平行的。 例3 微分运算与求不定积分的运算是互逆的: = = 由此可知： +C, +C. 实例 结论 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可以根据求导公式得出积分公式. 基本积分表 ? 是常数); 求不定积分的基本思想（仍然）是化繁为简——将所求积分化为基本积分表中的积分。 解 根据幂函数的积分公式 例4 求 （恒等变形法） 三、 不定积分的（线性）性质 例5 例7 例8 例9 例10 例11 例12 例 14 例 15 1. 不定积分的概念 ? 原函数与不定积分的定义 ? 不定积分的性质 ? 基本积分表 (见P188) 2. 直接积分法: 利用恒等变形, 及 基本积分公式进行积分 . 常用恒等变形方法 分项积分 加项减项 利用三角公式 , 代数公式 , 积分性质 1. 证明 2. 若 提示: 是 的原函数 , 则 提示: 已知 的导函数为 则 的一个原函数 是 ( ) . 提示: 已知 求 即 B ? ? 或由题意 其原函数为 提示: 解： 求 A , B . 解: 等式两边对 x 求导, 得 * * * * *