数值计算方法1.0.pptVIP

华长生制作 即 则有 则由定理1.可知 例6: 解: * 第一章 引论 第一章 引论 1.3 误差 1.1 数值计算的研究对象与特点 1.2 数值问题与数值方法 P29.习题一: 2. 6 . 11. 本章要点: 绝对误差(限)和相对误差(限) 有效数字位数及其与误差的关系 数值问题的性态与误差的关系 数值算法设计原则 本章作业 1.1 计算机数值方法的研究对象与特点 以计算机为工具,求解各种数学模型,都要经历三个过程: 总体设计——模型的细化 详细设计——主要为算法设计 程序设计 计算机数值方法研究的是将数学模型化为数值问题， 并研究求解数值问题的数值方法进而设计数值算法 数值问题： 输入数据与输出数据之间函数关系的 一个确定而无歧义的描述 即： 输入与输出的都是数值的数学问题 如求解线性方程组 求解二次方程 是数值问题 一、数值问题 1.2 数值问题与数值算法 求解微分方程 不是数值问题 将其变成数值问题，即将其“离散化” “离散化”是将非数值问题的数学模型化为数值问题 的主要方法，这也是计算方法的任务之一 二、数值方法 数值方法: 是指解数值问题的在计算机上 可执行的系列计算公式 在计算机上可执行的公式 是指只含有加减乘除的公式 现在的计算机软件都有标准函数库，如C语言sqrt(), exp() 标准函数库不包含的计算视为不能直接运行的计算，例: 极限、微分、积分等等 要在计算机上实行上述运算需将其化为可执行的等价 或近似等价运算 如求根公式 应化为公式 研究数值方法的主要任务: 1.将计算机上不能执行的运算化为在计算机上可 执行的运算 2.针对所求解的数值问题研究在计算机上可执行 的且有效的计算公式 3.因为可能采用了近似等价运算,故要进行误差分析, 即数值问题的性态及数值方法的稳定性 本课程的重点就是对线性方程组、微积分、微分方程、 及回归拟合等问题寻找行之有效的数值方法 三、数值算法 数值算法是指有步骤地完成解数值问题的过程. 数值算法有四个特点: 1.目的明确 算法必须有明确的目的,其条件和结论 均应有清楚的规定 2.定义精确 对算法的每一步都必须有精确的定义 3.可执行 算法中的每一步操作都是可执行的 4.步骤有限 算法必须在有限步内能够完成解题过程 例1. 给出等差数列1,2,3,…,10000的求和算法 解: 记数器置零 1.3 误差 一、误差的种类及来源 模型误差 在建立数学模型过程中,要将复杂的现 象抽象归结为数学模型,往往要忽略一 些次要因素的影响,而对问题作一些简 化,因此和实际问题有一定的区别. 观测误差 在建模和具体运算过程中所用的数据往 往是通过观察和测量得到的,由于精度的 限制,这些数据一般是近似的,即有误差 截断误差 由于计算机只能完成有限次算术运算和 逻辑运算,因此要将有些需用极限或无穷 过程进行的运算有限化,对无穷过程进行 截断,这就带来误差. 如: 若将前若干项的部分和作为函数值的近似公式, 由于以后各项都舍弃了,自然产生了误差 Taylor展开 舍入误差 在数值计算过程中还会遇到无穷小数,因 计算机受到机器字长的限制,它所能表示 的数据只能有一定的有限位数,如按四舍 五入规则取有限位数,由此引起的误差 过失误差 由于模型错误或方法错误引起的误差. 这类误差一般可以避免 数值计算中除了过失误差可以避免外,其余误差都是 难以避免的.数学模型一旦建立,进入具体计算时所考 虑和分析的就是截断误差和舍入误差 经过大量的运算之后,积累的总误差有时会大得惊人, 因此如何控制误差的传播也是数值方法的研究对象. 二、误差和误差限 定义1. 绝对误差限或误差限, 显然 或 且 哪个更精确呢? 定义2. relative error 绝对误差限 相对误差限 往往未知 代替相对误差 代替相对误差限 因此 例1. 解: 例2. 解: 可见,经四舍五入取近似值,其绝对误差限将 不超过其末位数字的半个单位 三、误差的传播与估计(补充)（略） 即 绝对误差 增长因子 相对误差 增长因子 思考: 试分析四则运算、乘方和开方的误差传播规律 有4位有效数字 有6位有效数字 四、有效数字 定义3.