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§3 协方差及相关系数 对于二维随机变量(X,Y)，除了讨论X与Y的数学期望和方差外，还需讨论描述X与Y之间相互关系的数字特征。这就是本节的内容。 定义： 软件有关结果 回归分析的Matlab实现 Matlab统计工具箱中提供了一些回归分析的命令，现介绍如下。 1 多元线性回归 多元线性回归的命令是regress，此命令也可用于一元线性回归。其格式为： （1）确定回归系数的点估计，用命令：b=regress(Y，X)。 （2）求回归系数的点估计和区间估计，并检验回归模型，用命令： [b，bint，r，rint，stats]=regress(Y，X，alpha)。 （3）画出残差及其置信区间，用命令： rcoplot（r，rint）。 在上述命令中，各符号的含义为： （i） b为回归方程的系数，Y，X的定义同本部分前面所述。对一元线性 回归，Y，X中取k=1即可； （ii）alpha为显著性水平（缺省时为0.05）； （iii）bint为回归系数的区间估计； （iv）r与rint分别为残差及其置信区间； （v）stats是用于检验回归模型的统计量，有三个数值，第一个是 R2，第二个是F值，第三个是与F对应的概率P。其中R2与F定义同前，值越大，说明回归方程越显著，P a 时拒绝H0 ，回归模型成立。 clc,clear x1=[ 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 ]; y=[ 13.2 15.1 16.4 17.1 17.9 18.7 19.6 21.2 22.5 24.3]; x=[ones(10,1),x1]; [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x); b,bint,stats, rcoplot(r,rint) 例 合金的强度y 与其中的碳含量x有比较密切的关系，今从生产中收集了一批数据如下表。试先拟合一个函数y(x)，再用回归分析对它进行检验。 x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 y 42.0 41.5 45.0 45.5 45.0 47.5 49.0 55.0 50.0 解 先画出散点图： x=0.10:0.01:0.18; y=[42.0,41.5,45.0,45.5,45.0,47.5,49.0,55.0,50.0]; plot(x,y, + ) 可知y与x大致为线性关系。 设回归模型为y= b1 + b2*x ，用regress和rcoplot编程如下： clc,clear x1=[0.10:0.01:0.18] ; y=[42.0,41.5,45.0,45.5,45.0,47.5,49.0,55.0,50.0] ; x=[ones(9,1),x1]; [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x); b,bint,stats,rcoplot(r,rint) 得到 b=27.4722 137.5000 bint=18.6851 36.2594 75.7755 199.2245 stats=0.7985 27.7469 0.0012 即b1=27.4722， b2=137.5000， b1的置信区间是[18.6851，36.2594]， b2的置信区间是[75.7755，199.2245]； R2 =0.7985，F =27.7469， p = 0.0012。 可知所设回归模型成立。 观察命令rcoplot(r,rint)所画的残差分布，除第8个数据外其余残差的置信区间均包含零点， 第8个点应视为异常点，将其剔除后重新计算，可得 b=30.7280 109.3985 bint=26.2805 35.2834 76.9014 141.8955 stats=0.9188 67.8534 0.0002 应该用修改后的这个结果。 xi 7 12 6 9 10 8 12 6 11 9 12 10 yi 57 72 51 57 60 55 70 55 70 53 76 56 练习1. 某地区某商品的价格x(单位：元/公斤)与到货量y (单位：吨)的样本数据如下 求关于的线性回归方程. 3） 预测与控制 当检验结果拒绝了H0:b2=0，接下来的问题是如何利用回归方程Y = b1 + b2*x 进行预测和控制。预测就是对固定的x值预测相应的y 值，控制就是通过控制x的值，以便把y 的值控制在制定的范围内