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第六章 树 树是一类重要的非线性数据结构，是以分支关系定义的层次结构 6.1 树的定义 定义 定义：树(tree)是n(n0)个结点的有限集T，其中： 有且仅有一个特定的结点，称为树的根(root) 当n1时，其余结点可分为m(m0)个互不相交的有限集T1,T2,……Tm，其中每一个集合本身又是一棵树，称为根的子树(subtree) 特点： 树中至少有一个结点——根 树中各子树是互不相交的集合 基本术语 结点(node)——表示树中的元素，包括数据项及若干指向其子树的分支 结点的度(degree)——结点拥有的子树数 叶子(leaf)——度为0的结点 孩子(child)——结点子树的根称为该结点的孩子 双亲(parents)——孩子结点的上层结点叫该结点的~ 兄弟(sibling)——同一双亲的孩子 树的度——一棵树中最大的结点度数 结点的层次(level)——从根结点算起，根为第一层，它的孩子为第二层…… 深度(depth)——树中结点的最大层次数 森林(forest)——m(m?0)棵互不相交的树的集合 6.2 二叉树 定义 定义：二叉树是n(n?0)个结点的有限集，它或为空树(n=0)，或由一个根结点和两棵分别称为左子树和右子树的互不相交的二叉树构成 特点 每个结点至多有二棵子树(即不存在度大于2的结点) 二叉树的子树有左、右之分，且其次序不能任意颠倒 基本形态 二叉树性质 性质1： 几种特殊形式的二叉树 满二叉树 定义： 性质5：如果对一棵有n个结点的完全二叉树的结点按层序编号，则对任一结点i(1?i?n)，有： (1) 如果i=1，则结点i是二叉树的根，无双亲；如果i1，则其双亲是?i/2? (2) 如果2in，则结点i无左孩子；如果2i?n，则其左孩子是2i (3) 如果2i+1n，则结点i无右孩子；如果2i+1?n，则其右孩子是2i+1 树的其它表示方式 6.2.3二叉树的存储结构(顺序、链式存储) 顺序存储结构 实现： 按满二叉树的结点层次编号，依次存放二叉树中的数据元素 整个二叉树可以按照从上到下，从左到右的顺序排序，做标号； 对于满/完全二叉树，可以从根结点开始按序号存放； 对于一般的二叉树，可以参照满二叉树的编码方法进行编码，位置空的结点空置。 特点： 结点间关系蕴含在其存储位置中 浪费空间，适于存满二叉树和完全二叉树 链式存储结构 二叉链表结点类型定义 链式存储结构示例 6.3 树和二叉树的遍历 树的遍历 遍历——按一定规律走遍树的各个顶点，且使每一顶点仅被访问一次，即找一个完整而有规律的走法，以得到树中所有结点的一个线性排列 二叉树的遍历 二叉树由根、左子树、右子树三部分组成 二叉树的遍历可以分解为：访问根，遍历左子树和遍历右子树 中序遍历：B D C E A F H G后序遍历：D E C B H G F A 二叉树遍历算法的实现 递归算法 二叉树的非递归遍历 非递归遍历 算法 建立二叉树 6.4.1 树的存储结构 树的存储结构 双亲表示法 实现：定义结构数组存放树的结点，每个结点含两个域： 数据域：存放结点本身信息 双亲域：指示本结点的双亲结点在数组中位置 特点：找双亲容易，找孩子难 孩子表示法 多重链表：每个结点有多个指针域，分别指向其子树的根 结点同构：结点的指针个数相等，为树的度D 结点不同构：结点指针个数不等，为该结点的度d 孩子兄弟表示法（二叉树表示法） 实现：用二叉链表作树的存储结构，链表中每个结点的两个指针域分别指向其第一个孩子结点和下一个兄弟结点 特点 操作容易 破坏了树的层次 6.4.2树与二叉树转换 森林转换成二叉树 将各棵树分别转换成二叉树 将每棵树的根结点用线相连 以第一棵树根结点为二叉树的根，再以根结点为轴心，顺时针旋转，构成二叉树型结构 6.6 二叉树的应用 哈夫曼树(Huffman)——带权路径长度最短的树 定义 路径：从树中一个结点到另一个结点之间的分支构成这两个结点间的~ 路径长度：路径上的分支数 树的路径长度：从树根到每一个结点的路径长度之和 树的带权路径长度：树中所有带权结点的路径长度之和 构造Huffman树的方法——Huffman算法 构造Huffman树步骤 根据给定的n个权值{w1,w2,……wn}，构造n棵只有根结点的二叉树，令起权值为wj 在森林中选取两棵根结点权值最小的树作左右子树，构造一棵新的二叉树，置新二叉树根结点权值为其左右子树根结点权值之和 在森林中删除这两棵树，同时将新得到的二叉树加入森林中 重复上述两步，直到只含一棵树为止，这棵树即哈夫曼树 算法 按中序线索化二叉树 深度为6的二叉树最多有（ ）个结点 A、 64 B、 63 C、 32