3-2向量的内积.PDF

3-2向量的內積 【目標】 能透過物理學中 ，施力於一物體上作功的概念 ，理解向量內積的意涵 ，進而將向 量內積與三角中的餘弦定理緊密的結合 ，並利用向量的坐標表示，處理內積的運 算性質 ，以便進一步探索向量的性質及相關的幾何應用。例如：柯西不等式﹑三 角不等式﹑向量的正射影﹑兩直線的夾角﹑點到直線的距離等等 。 【討論】 a , b a , b 1. 每個非零向量都指出一個方向，當 都不是 時 ， 有唯一夾角 。 0  a , b a , b  在圖中 ，即為 的夾角 。 的夾角 在 與 之間 ， 0 180 a , b  0 a , b  180 當 同向時 ， ，而 反向時 ，這兩種情形都是 a // b ； 0 180   90 當 a b時 ， ，其中 為直角（ ）時， 稱 與 垂直，記為 a  b 。 a b 2. 當我們要推開一扇門時 ，使用的力可以分解成兩部分 ， 其一與門平行，這是無效的力；另一與門垂直 ，這是有效的力 ，如圖所示 。 f 又一個質點在定力 作用下移動 時 ， d 若考慮此力所作的 功 ，則可將 f 分解成兩部分 ， 其一與 平行，這是有效的力 ，另一與 垂直，這是無效的力 ，如圖所示 。 d d 3. 當向量 a  0時 ， 指出一個方向 ， a 這時可以考慮另一向量 平行於 的分量 | b | cos ， b a 及垂直於 的分量 | b | sin ，其中 b  0時 ， a 平行於 的分量 | b | cos如圖所示 ， a  圖中分成夾角 為銳角﹑鈍角﹑直角三種情形： 0  90, | b | cos OH  0   90, | v | cos OH  0  90, | b | cos 0 28 f 4. 由物理學知 ，定力 作用在一質點上 ， f | f | cos | d | 產生位移 所作的功， W 等於 平行於 的分量 與 的乘積 ， d d 即 W | f | cos | d | | f || d | cos 。 a , b  在數學上