概率论第二章.pptVIP

3.连续型随机变量的条件分布 设 是二维连续型随机变量，其概率密度为 若对于固定的 ，有 ，则称 为在 条件下随机变量X的条件概率密度。 同理可以确定在给定 条件下，随机变量 的条件分布。 二、 随机变量的条件分布与随机向量分布的区别于联系 以连续型为例说明 是在随机变量 取定 下，随机变量 的概率密度； 是随机变量 取定 同时随机变量 取定 概率密度。 一般有总有下式成立 例2.31 设(X,Y)的分布表为 0 0 5/12 2 0 0 1/6 0 1/12 1/3 0 -1 1/3 1 0 试求在 条件下，随机变量 的条件分布。 解： 关于 的边际概率密度为 1/12 1/3 7/12 1/3 1 0 由于有 ， 所以条件分布存在，于是有 同理可得 的联合分布及条件分布。 例2.32 一射手进行射击，击中目标的概率 ，射 击进行到击中目标两次为止. 以X表示首次击中目标所进行 的射击次数，以Y 表示总共进行的射击次数 . 试求X 和 Y 解： 依题意，{Y=n} 表示在第n次射击时击中目标, 且 在前n-1次射击中有一次击中目标；设首次击中目标时射 击了m次。 第二次击中 2 n n-1 1 ………… m 第一次击中 共射击 n 次 每次击中目标的概率为 p 于是有 X的边缘分布律是： 同理Y的边缘分布律是： 于是可求得 对于固定n=2,3, …时有 联合分布 边缘分布 对于固定m=1,2, …,n-1时有 联合分布 边缘分布 例2.33 设(X,Y)服从单位圆上的均匀分布，即概率密度为 求在随机变量 条件下， 的条件分布。 解：X的边缘密度为 图2.15 由于 时， ，所以有 例2.34 设(X,Y)的概率密度为 求 ，其中 。 解：由于Y的边缘密度满足 图2.16 于是对 y0 故对y 0 例2.35设二维随机向量 的概率密度为 试求概率 。 2 2 4 图2.8 解: 两个随机变量的相互独立与判定 1.Def 设 为二维随机向量，其分布函数为 ，边 际分布函数分别为 ，如对于任意的 有 则称 为二维随机向量的两个分量 相互独立。 例2.36设二维随机向量 的分布函数为 试判断随机变量 的独立性。 解: 关于两个分量 X 和 Y 的边际分布函数为 显然，对于任意的 有 例2.37设二维随机向量 的分布函数为 试判断随机变量 的独立性。 解: 关于两个分量 X 和 Y 的边际分布函数为 显然，对于 有 2.两个随机变量相互独立的等价描述 定理1设二维随机向量 的分布表及其对应分量 与 的边际分布列如下表所示，则随机变量 与 独立的充要条 件为 定理2设二维随机向量 的概率密度为 ，对应 分量 与 的边际分布密度分别为 ，则随机变量 与 独立的充要条件为 例2.38 设(X,Y)的概率分布表为 1/2 1/2 1/2 1/4 1/4 1 1/2 1/4 1/4 0 1 0 问X和Y是否独立？ 解：关于各分量的边际分布列计算如表所示。 例2.38 设(X,Y)的概率分布表为 1/10 3/5 3/10 3/10 0 0 3/10 2 3/5 0 3/5 0 1 1/10 1/10 0 0 0 2 1 0 解：关于各分量的边际 分布列计算如表所示。 显然有 例2.39 设(X,Y)的概率密度为 问X和Y是否独立？ 解：关于各分量的边际概率密度分别为 显然，对于 有 4. 伽玛分布（Gamma Distribution） Def 若随机变量 的概率密度函数为 则称随机变量 服从参数 的伽玛分布，记为 。 当 时，伽玛分布就是指数分布； 当 时，伽玛分布就是统计三大分布卡埃方分布。 伽玛分布所能刻画随机现象： 具有非负取值的连续型 随机变量的概率分布都可以 用不同参数的伽玛分布来表 达。例如：人的生理特征指 标；金属线的抗拉强度等。 图2.3 随机向量与随机向量的分布函数 对于有些随机试验，要定量化表达其结果用一个随机变量来描述还不够，往往需要两个或两个以上变量作为整体来描述。 例如：在打靶时，命中 点的位置是由一对随机变量 (两个坐标)来确定的。 飞机的重心在空中的位 置是由三个随机变量来确定 的等等。 这就需要研究随机向量的概率规律。 一、随机向量的概念 1. 随机向量的定义 Def 设 为 个随机变量，如果 能表达随机试验 的结果，则称