2010高考数学备考之放缩技巧.doc

2010高考数学备考之证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材。这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种： 一、裂项放缩 的值; (2)求证:. 解析:(1)因为,所以 (2)因为,所以 奇巧积累:(1) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (11) (12) (13) (14) (15) (15) 例2.(1)求证: (2)求证: (3)求证: (4) 求证： 解析:(1)因为,所以 (2) (3)先运用分式放缩法证明出,再结合进行裂项,最后就可以得到答案 (4)首先,所以容易经过裂项得到 再证而由均值不等式知道这是显然成立的，所以 例3.求证: 解析:一方面:因为,所以 另一方面: 当时,,当时,, 当时,,所以综上有 例4.(2008年全国一卷) 设函数.数列满足..设，整数.证明:. 解析:由数学归纳法可以证明是递增数列,故存在正整数,使,则 ,否则若,则由知 ,,因为, 于是 例5.已知,求证: . 解析:首先可以证明: 所以要证 只要证: 故只要证,即等价于 ,即等价于 而正是成立的,所以原命题成立. 例6.已知,,求证:. 解析: 所以 从而 例.已知,,求证: 证明: ,因为 ,所以 所以 二、函数放缩 例.求证：. 解析:先构造函数有,从而 因为 所以 例.求证:(1) 解析:构造函数,得到,再进行裂项,求和后可以得到答案 函数构造形式: , 例.求证: 解析:提示: 函数构造形式: 当然本题的证明还可以运用积分放缩 如图,取函数, 首先:,从而, 取有,, 所以有,,…,,,相加后可以得到: 另一方面,从而有 取有,, 所以有,所以综上有 例.求证:和. 解析:构造函数后即可证明 例.求证: 解析:,叠加之后就可以得到答案 函数构造形式: 例.证明: 解析:构造函数,求导,可以得到: ,令有,令有, 所以,所以,令有, 所以,所以 例1. 已知证明. 解析: , 然后两边取自然对数,可以得到 然后运用和裂项可以得到答案) 放缩思路： 。于是， 即 注：题目所给条件（）为一有用结论，可以起到提醒思路与探索放缩方向的作用；当然，本题还可用结论来放缩： ， 即 例1.(2008年厦门市质检) 已知函数是在上处处可导的函数,若在上恒成立. (I)求证：函数上是增函数； (II)当； (III)已知不等式时恒成立， 求证： 解析:(I),所以函数上是增函数 (II)因为上是增函数,所以 两式相加后可以得到 (3) …… 相加后可以得到: 所以 令,有 所以 所以 又,所以 例1.(2008年福州市质检)已知函数若 设函数 ∴函