82 二重积分的计算法.ppt

* * 8.2.2 利用极坐标计算二重积分 有些二重积分，积分区域D的边界用极坐标方程来表示比较方便，且被积函数用极坐标变量r、? 表达比较简单。这时，我们就可以利用极坐标计算二重积分。 D 复习： 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D 则面积元素 1、极坐标系下的二重积分的形式 假定从极点O出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点 我们用 (2)从极点出发的一族射线：θ=常数， 把D分成 n个小区域（如上图） (1)以极点为中心的一族同心圆：r =常数， 面积元素 2、如何化为两次单积分 积分顺序：一般是先积r后积? 定限的方法：依D的特点： O x D O x D O x D O x D α β O x D o x D 1 2 (1) 小结： 利用极坐标计算二重积分 (1) 积分顺序通常是先 r后? (2) D的极坐标表示 如D的边界是由直角坐标方程:y =f (x) 给出，通常可从几何意义去确定D的极坐标表示（图形是重要的）或利用x=rcos?，y=rsin? 进行变换。 1、若D关于y轴对称 取 D1是D的右半区域 即当(x,y)∈D时，必有(?x,y) ∈D，则 2、若D关于x轴对称 D1是D的上半部分区域 即当(x,y)∈D时，必有(x,? y) ∈D，则 3、若D关于原点对称， 即当(x,y)?D时，必有(? x,?y)? D，则 其中D1是D的上半部分（或右半部分）区域。 4、若D关于直线 y = x对称， 即当(x,y)∈D时，必有(y, x)∈D，则 D 2a O a x y 例5 计算下列二重积分 D 2a O a x y * *