C8_4空间平面直线典型问题.ppt

1.1、平面外一点到该平面的的距离 1.2、点到直线的距离 3.2、直线与平面的交点 四.直线间的位置关系 * * 第六节 一、距离问题 二、平面间的位置关系 空间直线及其方程 第八章 点到平面的距离 点到直线的距离 三、线面间的位置关系 四、直线间的位置关系 五、平面束问题 外一点,求 解:设平面法矢量为 在平面上取一点 是平面 到平面的距离d . ,则P0 到平面的距离为 (点到平面的距离公式) 设 例1. 解: 设球心为 求内切于平面 x + y + z = 1 与三个坐标面所构成 则它位于第一卦限,且 因此所求球面方程为 四面体的球面方程. 从而 到直线 的距离 为 d 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设 二、平面间的关系（关键是夹角） 设平面∏1的法矢量为 平面∏2的法矢量为 则两平面夹角? 的余弦为 即 两平面法矢量的夹角(常为锐角)称为两平面的夹角. 特别有下列结论： 因此有 例4. 一平面通过两点 垂直于平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 . 解: 设所求平面的法矢量为 即 的法矢量 约去C , 得 即 和 则所求平面 故 方程为 且 当直线与平面垂直时,规定其夹角 线所夹锐角? 称为直线与平面间的夹角; ? 3.1、 直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时, 设直线 L 的方向矢量为 平面 ? 的法矢量为 则直线与平面夹角 ? 满足 直线和它在平面上的投影直 ︿ 三、线面间的位置关系 特别有: 解: 取已知平面的法矢量 则直线的对称式方程为 直的直线方程. 为所求直线的方向矢量. 垂 例3. 求过点(1,－2 , 4) 且与平面 与平面 的交点 . 提示: 化直线方程为参数方程 代入平面方程得 从而确定交点为（1，2，2）. 例2. 求直线 4.1、 两直线的夹角 则两直线夹角 ? 满足 设直线 两直线的夹角指其方向矢量间的夹角(通常取锐角) 的方向矢量分别为 特别有: 例2. 求以下两直线的夹角 解: 直线 直线 二直线夹角? 的余弦为 从而 的方向矢量为 的方向矢量为 过直线 的平面束 方程 五.平面束问题 例4. 求直线 在平面 上的投影直线方程. 提示：过已知直线的平面束方程 从中选择 得 这是投影平面 即 使其与已知平面垂直： 从而得投影直线方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例6. 求过直线L: 且与平面 夹成 角的平面方程. 提示: 过直线 L 的平面束方程 其法向量为 已知平面的法向量为 选择 使 从而得所求平面方程 经验证， 也为所求 1.平面与平面之间的关系 平面 平面 垂直: 平行: 夹角公式: 内容小结 直线 2. 线与线的关系 直线 夹角公式: 平面 ? : L⊥? L // ? 夹角公式： 3. 面与线间的关系 直线 L : 1. 设一平面平行于已知直线 且垂直于已知平面 求该平面法线的 的方向余弦. 提示: 已知平面的法向量 求出已知直线的方向向量 取所求平面的法向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 所求为 备用题 2. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线 垂直相交的直线方程. 提示: 先求二直线交点 P. 化已知直线方程为参数方程, 代入 ①式, 可得交点 最后利用两点式得所求直线方程 的平面的法向量为 故其方程为 ① 过已知点且垂直于已知直线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思路: 先求交点 3. 求过点 且与两直线 都相交的直线 L. 提示: 的方程化为参数方程 设 L 与它们的交点分别为 再写直线方程. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 三点共线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解： 相交,求此直线方程 . 的方向向量为 过 A 点及 面的法向量为 则所求直线的方向向量 方法1 利用叉积. 所以 一直线过点 且垂直于直线 又和直线 设所求直线与 的交点为 待求直线的方向向量 方法2 利用所求直线与L2 的交点 . 即 故所求直线方程为 则有 代入上式 , 得 由点法式得所求直线方程 而