(五年高考真题)2016届高考数学复习 第二章 第八节 函数的模型及其综合应用 理(全国通用).doc

考点一　函数的实际应用 1(2015·北京)汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升 汽油行驶的里程．如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同 速度下的燃油效率情况. 下列叙述中正确的是(　　) 消耗1升汽油乙车最多可行驶5千米 以相同速度行驶相同路程三辆车中甲车消耗汽油 量最多 甲车以80千米/时的速度行驶1小时消耗10升汽油 某城市机动车最高限速80千米/时．相同条件下在该市用丙车比用乙车更 省油 解析　汽车每消耗1升汽油行驶的里程为“燃油效率”由此理解显然不对；应是甲车耗油最少；甲车以80千米/小时的速度行驶消耗1升汽油．故正确． 答案　 2．(2014·湖南)某市生产总值连续两年持续增加第一年的增长率为p第二年的增长率为q则该市这两年生产总值的年平均增长率为(　　) B. C. D.－1 解析　设年平均增长率为x原生产总值为a则(1＋p)(1＋q)a＝a(1＋x)解得x＝－1故选 答案　 3.(2013·陕西)在如图所示的锐角三角形空地中欲建一个面积 不小于的内接矩形花园(阴影部分)则其边长x(单位： )的取值范围是(　　) [15，20] B．[12] C．[10] D．[20] 解析　设矩形另一边长为y＝则x＝40－y＝40－x.由xy≥300即x(40－x)≥300解得10≤x≤30故选 答案　 4．(2011·湖北)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素其含量不断减少这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M－其中M为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时铯137含量的变化率是－10 (太贝克/年)则(60)＝(　　) 太贝克 ．太贝克 太贝克．太贝克 解析　由题意M′(t)＝M－(30)＝M－1ln 2＝－10 ＝600(60)＝600×2－2＝150故选 答案　 5．(2015·四川)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系y＝＋b(＝2.718…为自然对数的底数为常数)．若该食品在0 的保鲜192小时在22 的保鲜时间是48小时则该食品在33 的保鲜时间是________小时． 解析　由题意＝＝＝＝33时＝＋b＝()3·eb＝＝＝24. 答案　24 (2012·江苏)如图建立平面直角坐标系xOy轴在 地平面上轴垂直于地平面单位长度为1千米．某 炮位于坐标原点．已知炮弹发射后的轨迹在方程y＝kx －(1＋k)x2(k0)表示的曲线上其中k与发射方向有关．炮的射程是指炮弹 落地点的横坐标． (1)求炮的最大射程； (2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)其飞行高度为3.2千米试问它的横坐标a不超过多少时炮弹可以击中它？请说明理由． 解　(1)令y＝0得kx－(1＋k)x2＝0由实际意义和题设条件知x0 故x＝＝＝10当且仅当k＝1时取等号．∴炮的最大射程为10千米． (2)∵a0 ∴炮弹可击中目标?存在k0使3.2＝ka－(1＋k)a2成立?关于k的方程a－20ak＋a＋64＝0有正根?判别式Δ＝(－20a)－4a(a2＋64)≥0? ∴当a不超过6千米时可击中目标． (2015·江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路为进一步改善山区的交通现状计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路记两条相互垂直的公路为l山区边界曲线为C计划修建的公路为l如图所示为C的两个端点测得点M到l的距离分别为5千米和40千米点N到l的距离分别为20千米和2.5千米以l所在的直线分别为x轴建立平面直角坐标系xOy假设曲线C符合函数y＝(其中a为 (1)求a的值； (2)设公路l与曲线C相切于P点的横坐标为t. 请写出公路l长度的函数解析式f(t)并写出其定义域； 当t为何值时公路l的长度最短？求出最短长度． 解　(1)由题意知点M的坐标分别为(5)，(20，2.5)． 将其分别代入 ＝得 解得 (2)①由(1)知＝(5≤x≤20) 则点P的坐标为 设在点P处的切线l交x轴分别于A点 y′＝－ 则l的方程为y－＝－(x－t) 由此得A. 故f(t)＝ ＝[5，20]． 设g(t)＝t＋ 则g′(t)＝2t－ 令g′(t)＝0解得t＝10 当t∈(5)时(t)＜0(t)是减函数； 当t∈(10)时(t)＞0(t)是增函数． 从而当t＝10时函数g(t)有极 所以g(t)min＝300此时f(t)＝15 答：当t＝10时公路l的长度最短最短长度为15千米． 考点二　函数的综合应用 (2014·辽宁)已知定义在[0]上的函数f(x)满足： (0)＝f(1)＝0； x，y∈[0，1]，且x≠y有|f(x)－f(y)|－ 若对所有x[0，1]，|f(x)－f(y)|k恒成立则k的最小值为(　　)