1 三角形单元有限元.ppt

主讲：熊世树 工程结构隔震减振 结构试验监测 结构仿真分析 Tel:8203E-mail: lab4331@163.com 结构试验中心203 有限元法主要优点： （1） 概念浅显，容易掌握。（离散、插值、能量原理、数学分析） （2）适用性强，应用范围广，几乎适用于所有连续体和场问题的分析。（结构、热、流体、电磁场和声学等问题） （3）计算规格化（采用矩阵表示），便于计算机编程。 1.7.2 整体刚度矩阵 假设整体结构被划分为ne个单元和n个节点，在整体坐标系下，对于每个单元均有： i、j、m表示单元中3个节点在结构系统中的编号。 当a=b时，即等腰直角三角形单元，有 (1-43b） i j m i j m 1.7 等价节点力 从前面单元分析可以看出：单元平衡所用到的的量均要属于节点的量，如单元位移、单元力。载荷亦应如此，必须将体积力、表面力转化到节点上去，成为等价节点力（载荷）。在第2.5节中已经得到了公式(1-35）和(1-36） 。 这里，?Fd?就是体积力、表面力和集中力之和的总等价节点力。 (1-35） (1-36） (1-44） 把总等价节点力? Fd ?分解成体积力、表面力和集中力的等价节点力之和，有 ?FV?——单元上体积力的等价节点力 ?FS?——单元上表面力的等价节点力 ?pC?——单元上节点上的集中力 注意到式(1-35），得体积力等价节点力计算公式： 表面力的等价节点力计算公式： (1-45） (1-46） 1、体积力的等价节点力 2、表面力的等价节点力 3、等价节点力计算举例 （1）单元自重 图1-9所示平面应力三角形单元，单元厚度为h。单元单位体积自重为?，自重指向y轴的负方向。 Pvix Pviy Pvjx Pvjy Pvmx Pvmy (1-45） ① 计算式 (1-21） 图1-9 x y i j m -? 注意到形函数的性质4： (1-23） 得自重荷载的等价节点力 (1-22） （i,j,m） 根据体积力和式(1-45）、(1-21）、(1-22），得 (1-47） 上式表明：自重载荷的等价节点力为单元重量的1/3。 （2）均布面力 i j m 图1-10 x y qs 单元边界上作用了均匀的分布力，如图1-10所示，其集度为?qs?。 (1-46） (1-21） 根据式(1-46）、(1-21）和(1-22） ① 计算式 注意到形函数性质4 ： (1-23） 得 (1-48） (1-22） 均匀分布力的等价节点力为 式(1-48）表明：在ij边上受均布面力的平面问题三角形单元，其等价节点力等于将均布面力合力之半简单地简化到i、j节点上，方向与分布力方向相同。m节点上为零。 (1-48） i j m x y qsx Fs1 Fs3 i j m x y qsy Fs2 Fs4 （3）线性分布面力 i j m 图1-11 x y s 表面力集度在i点为[qsx qsy]T，而在j点为0。设坐标轴s的原点取在j点，沿ji为正向， 。 ij边上任一点的面力集度?qs? s qsi qs i j m 图1-12 x y s l 在ij边上有： 将?qs?和上式代入式(1-46），有 由形函数的性质3： (1-49） 式(1-49）表明：ij边受线性分布面力： i点为[qsx, qsy]T，j点为0 时，其等价节点力可将总载荷的2/3分配给i点，1/3分配给j点，m点为零得出。 x y i j m qsi qs 体积力和表面力向节点的移置符合静力等效原理的前提条件是：线性位移模式。 1.7 系统分析 1.7.1 坐标系 研究各离散单元集合成整体结构，集合整体结构的平衡和变形协调，建立整体结构平衡方程。 单元分析时采用的坐标系成为局部坐标或单元坐标（单元刚度矩阵的通用性）。而结构系统分析时，必须在统一的坐标系内进行（各力学量才能叠加），称为“结构坐标”或“整体坐标”，如图1-13所示。 单元坐标系下，单元位移、单元力、单元刚度矩阵表示为： 整体坐标系下，单元位移、单元力、单元刚度矩阵表示为： X Y X Y P ○ ○ ○ ○ ○ P 图（1-13） (a) 平面桁架(杆件单元) 悬臂深梁 (平面三角形单元) x y x y x y x