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§3.7欧氏空间
→ →
在解析几何中,对平面上的有向线段 与 可
a b
做点乘 (也称内积)运算
→ → → → → →
a ⋅b | a || b | cos a , b
→ → → → →
其中, 表示有向线段 与 的夹角,| a |
a , b a b
→ → →
和| b | 分别有向线段 与 的长度。利用点乘可得
a b
→ →
→ → → → → a ⋅b
| a | a ⋅a cos a , b → →
| a || b |
→ → →
点乘具有如下性质:对任意 a , b , c 及k ∈R
均有
→ → → →
(1) a⋅b b=⋅a
→ → → → → → →
(2 ) (a+b ) ⋅c a=⋅c +b⋅c
→ → → →
(3 ) (k a ) ⋅b k (a=⋅b )
→ → →
(4 ) a⋅a ≥0 ,等号成立当且仅当 a 0
一、内积与度量
定义 设V是实数域R上的一个线性空间。如果对
α β
V 中任意两个向量α,β ,均有一个确定的、记作( , )
的实数与之对应,并且下列条件被满足:
(1) (α, β) (β,α)
kα β k α β
(2) ( , ) ( , )
(3) (α+β,γ) (α,γ) +(β,γ)
α θ (α,α) 0
(4) ,当且仅当 时, 。
(α,α) ≥0
这里α, β,γ是V 的任意向量,k是任意实数,则称实数
α β
( , ) α β
为向量 与 的内积。
定义了内积运算的线性空间称
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