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数学分析课后习题答案4.1
第四章 函数的连续性
第一节 连续性概念
1．按定义证明下列函数在其定义域内连续：
1
（1） f (x) ； （2 ）f (x) x 。
x
1
证：（1）f (x) 的定义域为D (−∞,0)(0,+∞) ，当x , x 0 ∈D 时，有
x
1 1 x −x 0
− 由三角不等式可得：x ≥ x 0 − x −x 0 ，
x x x x
0 0
1 1 x −x 0
故当x −x 0 x 0 时，有 − ≤ 2
x x 0 x 0 − x −x 0 x 0
2
εx
对任意给的正数ε ，取 0 则 ，当 x ∈D 且x x 时，
δ 0, δ x − δ
0 0
ε
1+ x
0
1 1
有 f (x) −f (x 0 ) − ε
x x
0
可见 f (x) 在 连续，由 的任意性知：f (x) 在其定义域内连续。
x x
0 0
(2) f (x) x 的定义域为(−∞,+∞), 对任何的x0 ∈(−∞,+∞) ，由于
x −x ≤ x −x ，从而对任给正数 ，取 ，当 时，
ε δ ε x x
− δ
0 0 0
有 f (x) −f (x ) x −x0 ≤ x −x0 ε
0
故 f (x) 在 连续，由 的任意性知，f (x) 在(−∞,+∞) 连续。
x x
0 0
2 ．指出函数的间断点及类型：
1 sin x
（1）f (x) x + ； （2 ）f (x) ； （3 ）f (x) [ cos x ] ；
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