4.1-4.2线性回归模型.pdf

第四章 线性回归模型 §4.1 一元线性回归模型 §4.2 多元线性回归模型 在现实世界中，人们经常要同时与许多变量打交道，这 些变量存在于一个共同体中，因此需要研究这些变量间的关 系。变量间的关系，常见的有两大类： (1) 确定性关系：即变量间存在完全确定的函数关系， S R S πR 2 ; V 如圆面积 与半径 之间有关系式： 又如电压 、 R I V IR 电阻 与电流强度 之间有关系式： 。这些关系式在 研究非随机性的数学、物理、化学、工程等学科中常遇到。 (2) 非确定性关系—— 随机现象：即变量之间有一定的 关系，但它们的关系并不完全确定。例如：高度相同的人其 体重不完全相同，但一般较高的人其体重相应也应重一点， 较矮的人体重轻一点，因而身高与体重间有一定的关系；血 压与年龄有一定关系，通常年龄大的人血压也高，但它们之 间的关系也不能用确定的函数关系表示，我们称变量之间的 这种关系为“相关关系”。 回归分析就是要研究具有相关关系的变量之间的统计规 律性。回归分析在工农业生产及科学研究中有着广泛的应用。 在试验数据的处理、经验公式的寻找、产品的统计质量管理、 市场预测、某些新标准的制订、自动控制中数学模型的建立、 气象预报、地质勘探、医药卫生等许多领域中都经常需要用 到回归分析。 在回归分析中，把变量分成两类，一类是因变量，常是 y 实际问题中所关心的一些指标，常用 表示；另一类是自变 量，是影响因变量取值的一些变量，常用x , x , , x 表示。 1 2 p 在回归分析中要研究的主要问题是： y x , x , , x 1、确定 与 1 2 p 之间的线性表达式，即估计表 达式中的未知参数，这种表达式称为回归方程； 2、对求得的回归方程的可信度进行检验； 3、判断自变量x (i 1,2, , p ) 对 y 有无影响，剔除影 i 响不大的变量； 4、利用所得的回归方程进行预测和控制。 §4.1 一元线性回归模型 一、一元线性回归 1．模型 最简单的回归分析是一元线性回归分析。为了弄清它解 决什么问题，我们先看一个例子。 例4.1.1 根据专业知识，合金钢的强度 y (kg / mm 2 ) 与 钢材中碳的含量 x (%) 之间有着密切关系。为了冶炼出符合 所要求强度的钢，常通过控制钢水中碳的含量来达到目的。 y x 为此需要了解 与 的关系。下表是合金钢的强度和碳含量 这两个变量之间的12组观测数据。 x (%) y (kg / mm 2 ) 表4.1.1 碳含量 与钢的强度 的12组数据 序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 号 x 0.10 0.11 0.12 0.13 0.14 0.15 0.16 0.17 0.18 0.19 0.20 0.21 y 42.0 43.5 45.0 45.5 45.0 47.5 49.0 53.0 50.0 55