4.5--高斯公式与斯托克斯公式.pdf

高斯公式  曲面的定向：外侧为正。 定理（高斯公式）：假设 R3 为有界 ，逐片光滑正则曲面包围 ，向量场 V(x,y,z) (X(x,y,z),Y(x,y,z),Z(x,y,z)) 在  内连续可微 ，在其闭包 上连续 ，则 X (x,y,z)dy dz Y (x,y,z)dz dx Z(x,y,z)dx dy  X Y Z     dxdydz   x y z  Z 证明：只证明 Z(x,y,z)dxdy  z dxdydz ，设    {(x,y,z)(x,y)D ,z (x,y)z  z (x,y)} xy 1 2 记 S :z z (x,y),(x,y)D 1 1 xy S :z z (x,y),(x,y)D 1 2 xy 则 Z(x,y,z)dxdy  Z(x,y,z (x,y))dxdy+ Z(x,y,z (x,y))dxdy   1  2  D D xy xy Z  z dxdydz  X Y Z 散度： divV   x y z Guass 公式： VdS divVdxdydz   散度的物理解释：向量场源的情况：正源还是负源，源的强度。 第二类曲面积分的计算：高斯公式 2 2  2 2 例：计算 (x zdx) dy(z  y)dzdx ，其中S 为旋转抛物面 z 1x  y ， S z  0,1 部分，向下为正。   解： 此题如直接按第二类曲面积分的定义计算则比较麻烦。如果把旋转面 2 2 截 xy坐标面的圆内部记作 S (z 0,x  y 1)向上为正 ，则 与 S 形成封闭曲面，